Combinação linear: diferenças entre revisões

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= Combinação Linear =
 
Em [[matemática]], uma '''combinação linear'''<ref name=":0">{{citar livro|titulo=Álgebra Linear e Aplicações|ultimo=Callioli|primeiro=Carlos A.|ultimo2=Domingues|primeiro2=Hygino H.|ultimo3=Costa|primeiro3=Roberto C. F.|editora=Atual|ano=1990|local=São Paulo, Brasil|paginas=57-59|acessodata=01/12/2016}}</ref> é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos, multiplicando cada termo por uma constante (por exemplo, uma combinação linear de '''''x''''' e '''''y''''' seria qualquer expressão da forma '''''ax + by''''', onde '''''a''''' e '''''b''''' São constantes). O conceito de combinações lineares é central para a [[álgebra linear]] e campos relacionados da matemática. A maior parte deste artigo trata de combinações lineares no contexto de um [[espaço vetorial]] sobre um campocorpo, com algumas generalizações dadas no final do artigo.
 
== Definição==
 
Suponha<ref>{{citar livro|titulo=Álgebra Linear Aplicada|ultimo=Noble|primeiro=Ben|editora=|ano=1986|local=Rio de Janeiro, Brasil|paginas=91|acessodata=}}</ref> que K é um campocorpo (por exemplo, o corpo dos números reais) e V é um espaço vetorial sobre K. Como de costume, chamamos elementos de [[Vetor (matemática)|vetores]] V e elementos escalares de K. Se '''''v<sub>1</sub>,...,v''<sub>''n''</sub>''' são vetores e '''''a<sub>1</sub>,...,a''<sub>''n''</sub>''' são [[Grandeza escalar|escalares]], então a combinação linear desses vetores com estes escalares como coeficientes é:
 
<math>a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v_2 + a_3 \vec v_3 + \cdots + a_n \vec v_n. \,</math>
Há alguma ambiguidade no uso do termo "combinação linear" quanto a se refere à expressão ou ao seu valor. Na maioria dos casos, o valor é enfatizado, como na afirmação "o conjunto de todas as combinações lineares de ''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub> sempre forma um [[Subespaço vetorial|subespaço]]". Contudo, também se pode dizer que "duas combinações lineares diferentes podem ter o mesmo valor", caso em que a expressão tenha sido denotada. A diferença sutil entre esses usos, é a essência da noção de dependência linear: uma família F de vetores é linearmente independente precisamente se qualquer combinação linear dos vetores em F (como um valor), é unicamente assim (como expressão). Em qualquer caso, mesmo quando vistos como expressões, tudo o que importa sobre uma combinação linear é o coeficiente de cada ''''v<sub>i</sub>'''' ; Modificações triviais como [[permutação]] de termos ou adição de termos com coeficiente zero não dão combinações lineares diferentes.
 
Em uma dada situação, K e V podem ser especificadamente explícitas, ou podem ser óbvias a partir do contexto. Neste caso, falamos com freqüênciafrequência de uma combinação linear de vetores ''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub>, com coeficientes não especificados (exceto que eles devem pertencer a K). Ou, se S é um subconjunto de V, podemos falar de uma combinação linear de vetores em S, onde ambos os coeficientes e vetores não são especificados, exceto que os vetores devem pertencer ao conjunto S (e os coeficientes devem pertencer a K). Finalmente, podemos simplesmente falar de uma combinação linear, onde nada é especificado (exceto que os vetores devem pertencer a V e os coeficientes devem pertencer a K); Neste caso, provavelmente está se referindo à expressão, já que cada vetor em V é certamente o valor de alguma combinação linear.
 
Note-se que, por definição, uma combinação linear envolve apenas vetores finitos (exceto como descrito em Generalizações abaixo). No entanto, o conjunto S que os vetores são desenhados (se for mencionado) pode ainda ser infinito; Cada combinação linear individual envolverá apenas vetores finitos. Além disso, não há razão para que ''n'' não possa ser zero; Neste caso, declaramos por convenção que o resultado da combinação linear é o vetor zero-V.