Diferenças entre edições de "Número ordinal"

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Os ordinais foram apresentados por [[Georg Cantor]] en 1883 para acomodar sequências infinitas e para classificar conjuntos com certos tipos de estruturas de ordem neles. Ele os derivou por acidente, enquanto trabalhava num problema que envolvia séries trigonométricas – veja em [[Georg Cantor]].
 
Os ordinais finitos (e [[Número cardinal|cardinais]] finitos) são os números naturais: <math>\0, 1, 2,\ldots</math>, já que quaisquer duas ordens de um conjunto finito são isomórficas de ordem. O menor ordinal infinito é o <math> \omega</math>, que é identificado com o número cardinal [[Aleph_null|<math>\aleph_0</math>]]. Entretanto, no caso transfinito, além de ω<math> \omega</math>, ordinais elaboram uma distinção mais refinada do que os cardinais na contagem de suas informações de ordem. Enquanto há somente um cardinal infinito contável, que é o [[Aleph_null|<math>\aleph_0</math>]] , há incontáveis ordinais infinitos contáveis, que são
<math> \omega, \omega+1,\omega+2,\ldots\newline
\omega\cdot 2 ,\omega\cdot 2 +1,\ldots\newline
\omega^2,\ldots,\omega^3,\ldots,\omega^{\omega},\ldots\newline
\omega^{\omega^\omega},\ldots,\epsilon_0
</math>
 
:ω, ω&nbsp;+&nbsp;1, ω&nbsp;+&nbsp;2, &hellip;, ω•2, ω•2&nbsp;+&nbsp;1, &hellip;, ω<sup>2</sup>, &hellip;, ω<sup>3</sup>, &hellip;, ω<sup>ω</sup>, &hellip;, ω<sup>ω<sup>ω</sup></sup>, &hellip;, ε<sub>0</sub>, &hellip;.
 
Aqui, adição e multiplicação não são comutativas: em particular, <math>1+\omega</math> ω é ω<math>\omega</math>, ao contrário de ω<math>\omega+1</math>, assim como <math>2* ω\cdot\omega</math> é ω<math>\omega</math>, enquanto ω*<math>\omega\cdot 2</math> não é. O conjunto de todos os ordinais contáveis constitui o primeiro ordinal incontável ω1<math>\omega_1</math>, que é identificado como cardinal (próximo cardinal após o ). Cardinais bem-ordenados são identificados com seus ordinais iniciais, ou seja, o menor ordinal daquela cardinalidade. A cardinalidade de um ordinal é a associação de ordinais com cardinais.
 
Em geral, cada ordinal α<math>\alpha</math> é o tipo de ordem do conjunto de ordinais estritamente menores que o ordinal, o próprio α. Esta propriedade permite que todo ordinal seja representado como o conjunto de todos os ordinais menores que ele. Ordinais podem ser categorizados como: zero, ordinais sucessor e ordinais limite (de várias cofinalidades). Dada uma classe de ordinais, pode-se identificar um α-ésimo membro daquela classe, ou seja, pode-se indexá-los (conta-los). Tal classe é fechada e não-limitada se sua função de indexação é contínua e nunca para. A foma normal de Cantor representa unicamente cada ordinal como um somatório finito de potências ordinais de ω. Entretanto, isto não pode forma a base da notação universal dos ordinais devido a tal representação auto referencial, como ε<sub>0</sub> = ω<sup>ε<sub>0</sub></sup>. Ordinais cada vez maiores podem ser definidos, mas eles ficam mais e mais difíceis de descrever. Qualquer número ordinal pode ser transformado em um espaço topológico por atribuí-lo com a topologia de ordem; esta topologia é discreta se e somente se o ordinal é um cardinal contável, ou seja, no máximo ω. Um subconjunto de ω+1 é aberto na topologia de ordem se e somente se ou ele é cofinito ou ele não contém ω como elemento.
 
== Ordinais estendem os números naturais ==
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