Conjunto gerador de um grupo: diferenças entre revisões

Enquanto for verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado(simplesmente tome as imagens de geradores no quociente), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado. Por exemplo, tome ''G'' como sendo um grupo livre em dois geradores, ''x'' e ''y'' (que é claramente finitamente gerado, desde que ''G'' = <{''x'',''y''}>), e tome ''S'' como sendo um subconjunto consistindo em todos os elementos de ''G'' da forma '''''y''^''n''''xy''^−''n'''''', dado ''n'' um número natural. Desde que <''S''> seja claramente isomórfico para o grupo livre nos geradores contábeis, isto não pode ser finitamente gerado. Contudo, todo grupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si finitamente gerado. Um pouco mais pode ser dito sobre isso, porém: a classe de todos os grupos finitamente gerados é fechado sobre expressões. Para visualizar, tome um conjunto gerado por um (finitamente gerado) subgrupo normal e quociente: então os geradores para o grupo normal, juntos com pré-imagens dos geradores para o quociente, gera o grupo.