Teorema de Borsuk-Ulam: diferenças entre revisões

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Linha 46:
<math> \forall t \in [0, \frac{1}{2}], g_*\alpha(t + \frac{1}{2}) = -g_*\alpha(t) </math>.
 
Caso contrário rxisteexiste uma função <math>p: [0,1] \to \mathbb{R}</math> tal que o laço <math>g_*\alpha</math> se escreve:
 
<math>\begin{array}{cccc}
g_*\alpha: & [0,1] & \rightarrow & S^1 \\
& t & \mapsto & (\cos(2\pi p(t)), \sin(2\pi p(t)))
\end{array}
</math>,com <math>p(0)=0</math>. Podemos deduzir então que:
</math>
com <math>p(0)=0</math>. Podemos deduzir então que:
 
<math> \forall t \in \left[0, \frac{1}{2}\right], 2[p(t+\frac{1}{/2})-p(t)] = (2k+1)\ \mbox{para algum }k\ \in \mathbb{}Z, \mbox{pois}.\ (\cos(2\pi p(t)),\sin(2\pi p(t))) = - (\cos(2\pi p(t+1/2)),\sin(2\pi p(t+1/2))) </math>
 
A função que associa <math>t </math> a <math> p(t+\frac{1}{2})+-p(t) </math> é contínua, definida num conjunto conexo e assumindo valores em um [[conjunto discreto]], e é, portanto, constante. Esta constante é da forma <math> \dfrac{c}{2}</math>, onde <math>c</math> é um inteiro ímpar. Isto nos permite deduzir asSegue igualdades:que
 
<math> p(1) = p\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{c}{2}(2k +1) = (p(0)+ \frac{c}{2}(2k +1))+\frac{c}{2}(2k +1) = c4k + 2 \neq 0.</math>
 
O fato de <math>c</math> ser um número ímpar mostra queComo <math>p(1)</math> é um inteiro não nulo, etemos portantoque <math> g_*\alpha</math> não é homotópico a um ponto. De fato, o laço <math> g_*\alpha </math> dá <math>c4k +2</math> voltas em torno do círculo. O morfismo <math> g_* </math> é um morfismo de um grupo trivial em um grupo isomorfo a <math> \mathbb{Z} </math> com imagem diferente do elemento neutro. Esta impossibilidade termina o argumento por absurdo. [[Q.E.D.]]
 
Como um [[corolário]] deste Teorema, temos que nenhum subconjunto de <math>\mathbb{R}^2</math> é homeomorfo a <math>S^2</math>.