Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder: diferenças entre revisões

Para cada <math>n\in\mathbb{N}</math> definimos <math>h_n : A \to A</math>, por <math>h_n=(g\circ f)^n</math>, composição de ''<math>n'' </math>fatores iguais a <math>g\circ f</math>. Observamos que <math>h_0=Id_A</math>. Note que o fato de <math>g</math> e <math>f</math> serem injetivas implica a injetividade de <math>h_n</math>.

<math>X=\{a\in A; \mboxtext{ existe } n\in\mathbb{N} \mbox{ com } h_n^{-1}(a)\not\in im\text{Im}(g)\}</math>.

Note que se <math>a\not\innotin im\text{Im}(g)</math>, então tomando <math>n=0</math> segue que <math>h_0^{-1}(a)\not\in \text{Im}(g)</math>, ou seja, <math>a\in X</math>. Equivalentemente, se <math>a\not\in X</math> temos que <math>a\in \text{Im}(g)</math>.

Por outro lado, observamos que dado <math>b\in B</math>, se tivermos <math>g(b)\in X</math>, então <math>b\in \text{Im}(f)</math> e ocorre <math>f^{-1}(b)\in X</math>. De fato, se <math>g(b)\in X</math> então existe <math>n\in\mathbb{N}</math> tal que <math>h_n^{-1}(g(b))\not\in \text{Im}(g)</math>. É claro que <math>n\neq 0</math> e nesse caso podemos escrever

Para concluir definimos <math>H : A \to B</math> pondo <math>H(a)=f(a)</math> se <math>a\in X</math> e <math>H(a)=g^{-1}(a)</math> se <math>a\not\in X</math>. Note que <math>H</math> está bem definida, pois ''g'' é injetiva e se <math>a\not\in X</math> então <math>a\in \text{Im}(g)</math>, como já observamos. Ademais, <math>H</math> é injetiva, haja vista que dados <math>a,a'\in A</math> temos as seguintes possibilidades: <math>a,a'\in X</math> (os dois estão em ''X''); <math>a,a'\not\in X</math> (os dois estão no complementar de ''X'') ou <math>a\in X, a'\not\in X</math> (um está em ''X'' e outro fora). Nos dois primeiros casos a igualdade <math>H(a)=H(a')</math> implica <math>a'=a</math>, devido à injetividade de <math>f</math> e de <math>g</math>. No último, tal igualdade implicaria <math>f(a)=g^{-1}(a')</math> de onde teríamos <math>a=f^{-1}(g^{-1}(a'))=h_1^{-1}(a')</math>. Porém, como <math>a\in X</math> existe <math>n\in\mathbb{N}</math> tal que <math>h_n^{-1}(a)\not\in \text{Im}(g)</math>. Logo, <math>h_n^{-1}(h_1^{-1}(a'))\not\in \text{Im}(g)</math>, ou seja, <math>h_{n+1}^{-1}(a')\not\in \text{Im}(g)</math>. Isso implica <math>a'\in X</math>, o que é uma contradição. Portanto, isso conclui a verificação da injetividade de ''H''.

Por fim, dado <math>b\in B</math> temos duas possibilidades: <math>g(b)\not\in X</math> ou <math>g(b)\in X</math>. No primeiro caso, temos que <math>H(g(b))=g^{-1}(g(b))=b</math> e no segundo caso, como foi observado, teremos que <math>f^{-1}(b)\in X</math> e daí, <math>H(f^{-1}(b))=f(f^{-1}(b))=b</math>. Portanto, ''<math>H''</math> trata-se de uma bijeção.