Diferenças entre edições de "Matriz densidade"

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Em [[mecânica quântica]], uma '''[[Matriz (matemática)|matriz]] densidade,''' ou operador densidade, é uma [[Matriz definida positiva|matriz semidefinida positiva]] [[Auto-adjunto|auto-adjunta]] (ou [[Matriz transposta conjugada|Hermitiano]]), (dimensionalmente possivelmente infinita), de [[Classe tracial|traço]] um, que descreve o estado estatístico de um [[Mecânica quântica|sistema quântico]]. O formalismo foi introduzido por [[John von Neumann]] (e de acordo com outras fontes, independentemente por [[Lev Landau]] e [[Felix Bloch]]) em 1927.
 
== Estados Mistos e Puros ==
 
Quando uma medida é operada em um sistema quântico, ela só possui sentido se for utilizado o conceito de média de ''ensemble'', ou seja, sistemas ''a priori'' identicamente preparados. Após a realização da medida obtêm-se uma caracterização estatística dos constituintes do estado final total, composto por todos os subsistemas onde a medição fora realizada. Por exemplo, após a realização de um experimento ''Stern-Gerlach'', sabemos que o estado físico do feixe de átomos de prata após a interação com o campo magnético externo possui uma população de 50% dos seus átomos colapsados em um estado de spin para cima e a parcela restante, também composta por 50\%, possui spin para baixo. Entretanto, ao sair do forno, ou em outras palavras, antes da medição, não podemos caracterizar os estados físicos dos átomos que constitui o feixe; o spin individual de cada átomo pode estar apontando para qualquer direção, utilizando termos gerais, o estado físico é randômico.
 
Para o caso dos sistemas físicos onde não ocorreu uma medição, sabemos que eles são compostos por um número finito de constituintes, de forma que podemos atribuir um peso a sua população relativa de um dado estado particular, ou seja,
 
<math>|a\rangle= p_1|1\rangle+p_2|2\rangle+...+p_N|N\rangle=\sum_{n=1}^{N}p_m|m\rangle</math>
 
Nesta equação, <math>|a\rangle</math> é o ket que representa o sistema físico antes de uma medida, os coeficientes <math>p_m</math>configuram os pesos dados pela população fracionária que possui em comum a representação do ket <math>|n\rangle</math> e N é o número de indivíduos no ''ensemble'', ou o número de sistemas identicamente preparados. Nesse caso, deve-se tomar cuidado para não confundir o número de indivíduos que compõem o sistema com a dimensão do espaço gerado pelos auto vetores de um dado observável, N geralmente supera com folga a dimensão do auto-espaço de um dado operador.  Como estamos tratando de uma população fracionária, obviamente, a soma dos pesos deve ser a unidade. Somos impostos a condição
 
<math>\sum_{m=1}^N p_m=1</math>
 
Além disso, não se tem nenhuma informação geométrica dos kets mediados pelos <math>p_n's</math> eles podem muito bem ser ortogonais entre si, como não, podem ser auto vetores de um operador em comum como também o podem não ser e nem sabemos se os operadores que os representam são compatíveis ou não. Sendo assim, podemos definir a natureza estatística deste conjunto; antes de realizarmos a medida em um sistema composto pela população de estados físicos, considerando que exista mais de um <math>p_n</math>diferente de zero, dizemos que <math>|a\rangle</math>configura um '''''ensemble misto'''''. Agora, após a realização de uma medida, podemos analisar em sua totalidade a parte da população fracionária caracterizada por um certo estado físico em comum, ou seja, a coletânea de sistemas físicos tais quais são representadas por um único ket. Para este último caso, damos o nome de '''''ensemble puro'''''. Ou seja, um ''ensemble'' misto é composto por uma coleção de ''ensembles'' puros.
 
Considerando a medida de algum observável, essa o qual só será possibilitada a partir de uma média sobre ''ensembles,'' como por exemplo o observável <math>\hat G</math>, que na construção formal da mecânica quântica é um operador, obtemos para sua média <math>\bar G,</math>
 
<math>\bar G = \sum_{m=1}^{N}p_m\langle m|\hat G |m\rangle=\sum_{m=1}^{N}p_m\langle m|\hat G \hat 1 |m\rangle=\sum_{m=1}^{N}\sum_g p_m \langle m| \hat G |g\rangle \langle g|m\rangle</math>
 
Valendo a equação de autovalores <math>\hat G|g\rangle=g|g\rangle</math>, obtêm-se,
 
<math>\bar G = \sum_{m=1}^{N}\sum_g p_m |\langle g|m\rangle|^2 g</math>
 
A partir deste resultado, deve-se alertar a construção de duas estatísticas independentes na obtenção de uma única medida, os pesos populacionais de cada estado físico, compõem uma abordagem estatística que acaba mediando a média de ''ensemble'' das previsões quânticas, que também constituem um escopo estatístico em si.
 
O formalismo quântico permite quantas mudanças de base quanto forem necessárias, de forma que podemos escrever,
 
<math>\bar G = \sum_{m=1}^{N}p_m\langle m|\hat 1\hat G \hat1 |m\rangle = \sum_{m=1}^{N}p_m \sum_i\sum_j \langle m | i\rangle \langle i|\hat G |j\rangle \langle j| m \rangle= \sum_i\sum_j \left ( \sum_{m=1}^N p_m \langle j|m \rangle \langle m | i \rangle \right )\langle i|\hat G |j\rangle</math>
 
O termo destacado entre parenteses é definido como um operador hermitiano, denominado '''''operador densidade''''' <math>\hat \rho,</math>
 
<math>\rho \equiv \sum_{m=0}^N p_m|m\rangle \langle m|</math>
 
== Operador Densidade ==
 
Utilizando a representação matricial da mecânica quântica é possível encontrar para operador densidade uma expressão para os seus elementos matriciais dada por,
 
<math>\hat \rho_{ij} = \langle i|\hat \rho |j\rangle = \sum_{m=0}^N p_m \langle i|m \rangle \langle m|j\rangle</math>
 
Considerando esta construção, a expressão para <math>\hat G</math>toma uma forma muito mais compacta,
 
    <math>\hat G = \sum_i\sum_j\langle j |\hat \rho |i \rangle \langle i| \hat G |j\rangle = \sum_j \langle j| \underbrace{\sum_i |i\rangle\langle i|}_{\hat 1} \hat G|j\rangle=\sum_j\langle j|\hat \rho \hat G |j\rangle=Tr[\hat \rho \hat g]</math>
 
Onde a operação <math>Tr[\hat \rho \hat g]</math>corresponde ao traço do operador resultante do cálculo de <math>\hat \rho \hat G</math>, ficando assim explicita o poder generalizado desta construção, ''o traço é independente da representação''.
 
Resumidamente, encontramos que a média sobre ''ensemble'' de um observável <math>\hat G</math> é dada por,
 
<math>\hat G = Tr[\hat \rho \hat G]</math>
 
Agora, analisando o traço do operador identidade separadamente, temos que,
 
<math>Tr[\hat \rho] = \sum_j\sum_{m=0}^N p_m \langle j| m \rangle \langle m|j\rangle=\sum_{m=0}^Np_m \langle m|\underbrace{\left(\sum_j |j\rangle \langle j|\right)}_{\hat 1}|m\rangle=\sum_{m=0}^Np_m\underbrace{\langle m|m\rangle}_{1}=1</math>
 
Agora, para um ''ensemble'' puro, onde a população relativa torna-se total, com <math>p_1=1,</math>teremos a matriz densidade <math>\hat \rho_P,</math>
 
   <math>\hat \rho_P = |m\rangle\langle m|</math>  
 
Daí, tem-se que,
 
<math>\hat \rho_P \hat \rho_P = \hat \rho_P^2 = |m \rangle \underbrace{\langle m| m\rangle}_1 \langle m|=|m\rangle\langle m|=\hat \rho_P</math>
 
Ou seja, <math>\hat \rho_P</math>é um projetor,
 
<math>\hat \rho_P^2=\hat \rho_P</math>
 
Então, somente para um estado puro,
 
<math>Tr[\hat \rho_P^2]=1</math>
 
Sendo assim, os autovalores associados ao operador densidade de ''ensemble'' puros deve sempre ser zero ou um.
 
{{Classes de matriz}}
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