Diferenças entre edições de "Matriz densidade"

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Inseri os tópicos relacionados a evolução temporal e a correspondência com a mecânica Estatística.
(Escrevi o artigo completo. Pretendo aperfeiçoar, inserir hiperlinks, além de citar as amplas referências utilizadas.)
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== Estados Mistos e Puros ==
 
Quando uma medida é operada em um sistema quântico, ela só possui sentido se for utilizado o conceito de média de ''ensemble'', ou seja, sistemas ''a priori'' identicamente preparados. Após a realização da medida obtêm-se uma caracterização estatística dos constituintes do estado final total, composto por todos os subsistemas onde a medição fora realizada. Por exemplo, após a realização de um [[Experimento de Stern-Gerlach|experimento ''Stern-Gerlach'']], sabemos que o estado físico do feixe de átomos de prata após a interação com o campo magnético externo possui uma população de 50% dos seus átomos colapsados em um estado de spin para cima e a parcela restante, também composta por 50\%, possui spin para baixo. Entretanto, ao sair do forno, ou em outras palavras, antes da medição, não podemos caracterizar os estados físicos dos átomos que constitui o feixe; o spin individual de cada átomo pode estar apontando para qualquer direção, utilizando termos gerais, o estado físico é randômico.
 
Para o caso dos sistemas físicos onde não ocorreu uma medição, sabemos que eles são compostos por um número finito de constituintes, de forma que podemos atribuir um peso a sua população relativa de um dado estado particular, ou seja,
<math>\sum_{m=1}^N p_m=1</math>
 
Além disso, não se tem nenhuma informação geométrica dos kets mediados pelos <math>p_n's.</math> elesEles podem muito bem ser ortogonais entre si, como não, podem ser auto vetores de um operador em comum como também o podem não ser e nem sabemos se os operadores que os representam são compatíveis ou não. Sendo assim, podemos definir a natureza estatística deste conjunto; antes de realizarmos a medida em um sistema composto pela população de estados físicos, considerando que exista mais de um <math>p_n</math>diferente de zero, dizemos que <math>|a\rangle</math>configura um '''''ensemble misto'''''. Agora, após a realização de uma medida, podemos analisar em sua totalidade a parte da população fracionária caracterizada por um certo estado físico em comum, ou seja, a coletânea de sistemas físicos tais quais são representadas por um único ket. Para este último caso, damos o nome de '''''ensemble puro'''''. Ou seja, um ''ensemble'' misto é composto por uma coleção de ''ensembles'' puros.
 
Considerando a medida de algum observável, essa o qual só será possibilitada a partir de uma média sobre ''ensembles,'' como por exemplo o observável <math>\hat G</math>, que na construção formal da mecânica quântica é um operador, obtemos para sua média <math>\bar G,</math>
A partir deste resultado, deve-se alertar a construção de duas estatísticas independentes na obtenção de uma única medida, os pesos populacionais de cada estado físico, compõem uma abordagem estatística que acaba mediando a média de ''ensemble'' das previsões quânticas, que também constituem um escopo estatístico em si.
 
O formalismo quântico permite quantas mudanças de base quanto forem necessárias, de forma que podemos escrever,
 
<math>\bar G = \sum_{m=1}^{N}p_m\langle m|\hat 1\hat G \hat1 |m\rangle = \sum_{m=1}^{N}p_m \sum_i\sum_j \langle m | i\rangle \langle i|\hat G |j\rangle \langle j| m \rangle= \sum_i\sum_j \left ( \sum_{m=1}^N p_m \langle j|m \rangle \langle m | i \rangle \right )\langle i|\hat G |j\rangle</math>
 
O termo destacado entre parenteses é definido como um operador hermitiano, denominado matriz densidade ou ainda, '''''operador densidade''''' <math>\hat \rho,</math>
 
<math>\rho \equiv \sum_{m=0}^N p_m|m\rangle \langle m|</math>
    <math>\hat G = \sum_i\sum_j\langle j |\hat \rho |i \rangle \langle i| \hat G |j\rangle = \sum_j \langle j| \underbrace{\sum_i |i\rangle\langle i|}_{\hat 1} \hat G|j\rangle=\sum_j\langle j|\hat \rho \hat G |j\rangle=Tr[\hat \rho \hat g]</math>
 
Onde a operação <math>Tr[\hat \rho \hat g]</math>corresponde ao traço do operador resultante do cálculo de <math>\hat \rho \hat G</math>, ficando assim explicita o poder generalizado desta construção,: ''o traço é independenteindepende da representação''.
 
Resumidamente, encontramos que a média sobre ''ensemble'' de um observável <math>\hat G</math> é dada por,
Ou seja, <math>\hat \rho_P</math>é um projetor,
 
<math>\hat \rho_P^2=\hat \rho_P \rightarrow \hat \rho_P(\hat \rho_P-\hat 1)=0</math>
 
Então, somente para um estado puro,
 
<math>Tr[\hat \rho_P^2]=1</math>
 
Sendo assim, os autovalores associados ao operador densidade de ''ensembleensembles'' puros deve sempre ser zero ou um., de forma que quando diagonalizamos a matriz densidade esperamos encontrar um objeto matemático na forma de,
 
<math>\hat\rho_P\doteq
{{Classes de matriz}}
\begin{pmatrix}
0 & ... & 0& 0& 0 & ... & 0 \\
\vdots & ... & 0& 0& 0 & ... & 0 \\
0 & ... & 0& 1& 0 & ... & 0 \\
\vdots & ... & 0& 0& 0 & ... & 0 \\
0 & ... & 0& 0& 0 & ... & 0
\end{pmatrix}</math>
 
Em contrapartida, um ''ensemble'' totalmente misto deve possuir a matriz densidade <math>\hat \rho_M</math>, com a estrutura,
 
<math>\hat \rho_M\doteq \frac{1}{N}\begin{pmatrix}
1 & ... & 0& 0& 0 & ... & 0 \\
\vdots & ... & 1& 0& 0 & ... & 0 \\
0 & ... & 0& 1& 0 & ... & 0 \\
\vdots & ... & 0& 0& 1 & ... & 0 \\
0 & ... & 0& 0& 0 & ... & 1
\end{pmatrix}=\frac{1}{N}\hat 1_N</math>
 
É obvia a confrontação frente duas matrizes diagonais N-dimensionais, sujeitas a mesma condição de normalização, que representam objetos físicos diametralmente opostos. É conveniente então a definição de uma grandeza que distingua as qualidades físicas intrínsecas a cada objeto. Com este espírito, defini-se a '''''[[Entropia de Von Neumann]]''''',
 
<math>S\equiv-k_BTr[\hat \rho ln \hat \rho]</math>
 
Como todos os elementos não diagonais de ambas as matrizes são nulos, pode-se escrever a forma diagonal da entropia,
 
<math>S=-k_B\sum_{n=0}^N\rho_{nn}ln\rho_{nn}</math>
 
Para um ''ensemble'' completamente misto, teremos a entropia <math>S_M</math>, dada por,
 
    <math>S_M=k_B\sum_{n=0}^N\rho_{nn}ln\frac{1}{\rho_{nn}} = \sum_{n=1}^N\frac{1}{N}lnN=lnN</math>
 
Em contrapartida, o operador densidade relacionado a um estado puro, resulta em uma entropia <math>S_P</math>nula,
 
   <math>S_P=ln(1)=0</math>
 
É valida a observação de que nesta definição entropica, recupera-se a interpretação da medida de desordem de um sistema, o seu ''caos''. ''[[Ludwig Boltzmann]]'' relacionou a saturação energética natural dos sistemas termodinâmicos, a entropia S, com o número de microestados possíveis  <math>\Omega</math> que podem ser acessados ao mesmo, apresentando a equação que hoje consta em sua lápide, <math>S=k_B ln\Omega</math>. Sendo assim, para pequenos valores de <math>\Omega</math>, tem-se uma baixa entropia, além de que para um único estado possível, <math>\Omega=1</math>, ocasiona entropia nula, correspondentemente idêntico ao caso puramente quântico explicitado na [[Entropia de Von Neumann|entropia de ''Von Neumann'']] para um estado puro.
 
== Progressão temporal de um ''Ensemble'' estatístico ==
A fim de avaliar a evolução temporal do operador densidade, é possível tomar sua derivada temporal, onde ''aprioristicamente'' não é considerada uma dependência exclusivamente temporal. Além disso, as populações mantém-se estáticas, sendo assim,
 
<math>\frac{\partial}{\partial t} \hat \rho = \sum_{i=0}^N \frac{\partial}{\partial t} p_n |i\rangle\langle i|=\sum_{i=0}^Np_i\left[\left( \frac{\partial}{\partial t} |i\rangle \right)\langle i|+|i\rangle\left(\frac{\partial}{\partial t}\langle i| \right) \right]</math>
 
Neste regime é valida a substituição heurística,
 
 <math>i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow \hat H</math>
 
Sendo assim, a derivada temporal assume a forma,
 
<math>i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat \rho = \sum_{i=0}^Np_i\left(\hat H |i \rangle \langle i| - |i\rangle \langle i|\hat H \right)= \hat H \sum_{i=0}^Np_i |i\rangle \langle i|- \sum_{i=0}^Np_i |i\rangle \langle i| \hat H</math>
 
Ou seja, obtém-se,
 
    <math>i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat \rho = [\hat H, \hat \rho]</math>
 
Esta equação pode ser interpretada como o análogo quântico do [[Teorema de Liouville (mecânica hamiltoniana)|teorema de ''Liouville'']].
 
== Representação dos ''Ensembles'' Micro-Canônico e Canônico quânticos ==
A conexão entre a mecânica estatística e a mecânica quântica é motivada a partir do segundo postulado da termodinâmica,
 
<blockquote>'''Postulado II:''' ''Pode-se supor a existência de uma função, chamada entropia, que depende apenas das variáveis extensivas do problema, cujo máximo fornece a configuração de equilíbrio do sistema termodinâmico sob análise.''</blockquote>
 
Levanto em frente as consequências do segundo postulado, pode-se extrair informações a respeito dos ''ensembles'' estatísticos a partir da extremização da entropia de ''Von Neumann'', logo,
 
    <math>\delta S=0 \rightarrow \sum_{n=0}^N\delta[\rho_{mm}ln\rho_{mm}]</math>
 
É obrigada a restrição sobre este máximo de que a conservação da probabilidade seja confirmada, de forma que inclui-se a restrição,
 
    <math>Tr[\rho]=\sum_{n=0}^N\rho_{nn}=1\rightarrow \sum_{n=0}^N\delta\rho_{nn}</math>
 
Sendo assim, a junção entre a restrição imposta e a extremização da entropia é dada via [[Multiplicadores de Lagrange|multiplicadores de ''Lagrange'']],
 
<math>\delta S+\gamma\delta Tr[\rho]=\sum_{n=0}^N\left(ln\rho_{nn}+1+\gamma \right)=0</math>
 
Se considerarmos uma variação arbitrária, ela só será possível se o objeto sobre soma for nulo de forma que encontramos,
 
   <math>\rho_{nn}=e^{-\gamma-1} \equiv k</math>
 
Podemos determinar a constante <math>k</math> a partir de uma simples normalização, obtendo <math>k=1/N</math>, recupera-se então a expressão para <math>\hat \rho_M.</math>
 
Esse resultado confirma o sucesso da construção; em seu estado mais fundamental, <math>\hat \rho_M</math> remonta o ''ensemble'' micro-canônico; nesse caso, se considerarmos que não existe degenerescência, cada estado é caracterizado por um ket específico configurando um microestado. Como o peso estatístico de cada microestado é o mesmo, <math>1/N</math>, encontra-se naturalmente a hipótese de microestados igualmente prováveis ''a priori'', uma das hipóteses pioneiras no desenvolvimento de uma mecânica estatística consistente.
 
Embora tenha sido estabelecida a construção coerente da mecânica estatística quântica, um caso mais rico em aplicações pode ser obtido se somarmos uma restrição na extremização da entropia de ''Von Neumann'',
 
   <math>\bar H = Tr[\rho \hat H] \equiv U,</math>
 
ou seja, a média de energia possui um valor estabelecido. Sob mais esta condição, que remonta um sistema físico em equilíbrio térmico com uma fonte, teremos para uma maximação da entropia,
 
 <math>\sum_{n=0}^N\delta[\rho_{nn}ln\rho_{nn}+\rho_{nn}+\rho_{nn}\beta E_n +\gamma \rho_{nn}]=0 \rightarrow ln\rho_{mm}+1+\beta E_n+\gamma=0</math>
 
Sendo assim,
 
    <math>\rho_{nn}=Ce^{-\beta E_n}</math>
 
Pode-se determinar a constante a partir de uma normalização direta, da qual obtém-se
 
    <math>\rho_{nn}=\frac{e^{-\beta E_n}}{\sum_{i=1}^N e^{-\beta E_i}}</math>
 
A expressão no denominador remonta um conceito muito explorado na mecânica estatística clássica, a '''''[[Função de partição (mecânica estatística)|função partição]]''''' <math>Z,</math>
 
<math>Z=\sum_{i=1}^Ne^{-\beta E_i}=Tr[e^{-\beta \hat H }]</math>
 
Sendo assim, a matriz densidade no ''ensemble'' canônico, é expressa por,
 
 <math>\hat \rho = \frac{e^{\beta \hat H}}{Z}</math>
 
Uma vez determinada a matriz densidade de um certo sistema físico, é possível analisar a magnitude dos seus valores médios. Se considerarmos o observável <math>\hat A</math>de interesse, teremos para o seu valor médio <math>\bar A,</math>
 
<math>\bar A= \frac{Tr(e^{-\beta \hat H}\hat A)}{Z}</math>
 
Um caso específico a ser trata-do nos problemas de mecânica estatística é a determinação da energia média de um sistema <math>\bar E, </math>também chamada de energia interna <math>U.</math>Teremos,
 
   <math>\bar E=U=\frac{1}{Z}Tr[e^{-\beta \hat H}\hat H]=-\frac{\partial}{\partial \beta}lnZ</math>
 
Equivalentemente na mecânica estatística clássica. {{Classes de matriz}}
 
{{DEFAULTSORT:Matriz Densidade}}
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