Equilíbrio hidrostático: diferenças entre revisões
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:<math>M(r)=\int_0^r 4\pi r'^2\rho(r')dr'</math>
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!Demonstração<ref name= if-ufrgs/>
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Para haver equilíbrio hidrostático (ou mecânico), todas as forças que atuam em qualquer elemento de volume dentro da estrela têm que ser compensadas exatamente, já que uma força resultante não nula implicaria movimentos e, portanto, mudanças na estrutura. As únicas forças que precisamos considerar são a força gravitacional, para dentro, e a força de pressão, para fora.
Considerando um elemento de volume cilíndrico, a uma distância <math>r</math> do centro da estrela, com seu eixo na direção do centro, com uma seção transversal <math>dS</math> e um comprimento <math>dr</math>. A força de pressão atuando sobre este elemento, causada pela diferença de pressão nas paredes interna e externa, é expressa pelo produto da área infinitesimal do cilindro por essa diferença de pressão:
:<math> dF = - dP.dS</math>
Pela [[regra da cadeia]], <math> dP = \frac{dP}{dr}.dr</math>. O sinal negativo da equação acima significa então que a pressão aumenta conforme o raio <math>r</math> diminui.
Já a força gravitacional atuante nesse volume infinitesimal é dada pelo produto do elemento de massa <math>dm</math> pela aceleração gravitacional naquele ponto <math>g=\frac{GM}{r^2}</math>, em que <math>M = M(r)</math> é a massa total abaixo do elemento de volume que, portanto, o atrai. Essa massa das camadas inferiores pode ser calculada se conhecida a função densidade <math>\rho(r)</math> da estrela, já que <math>\rho(r)=\frac{dM}{dV}=\frac{dm}{dV}</math>, em que <math>dV</math> é o elemento de volume. Assumindo a simetria esférica <math>(V(r')=\frac{4\pi r'^3}{3}</math>), portanto, a massa das camadas inferiores é calculada pela seguinte integral:
:<math> M(r) = {\int_{0}^{r}} dM = {\int_{0}^{r}} {\frac{dM}{dV}.\frac{dV}{dr'}} dr' = {\int_{0}^{r}} {\rho(r).4\pi r'^2} dr'</math>
Finalmente, a expressão do elemento de força gravitacional atuando no particular volume deve ser (fazendo uso da regra da cadeia e de que <math>dV=drdS</math>):
:<math>dF_{g}= dm.g =\frac{dm}{dV}\frac{GM(r)}{r^2} dV = \rho(r)\frac{GM(r)}{r^2}drdS</math>
Para que haja equilíbrio segue que <math> dF = dF_{g}</math>:
<math> - \frac{dP}{dr}.drdS = \rho(r)\frac{GM(r)}{r^2}drdS</math>
Isso implica que:
{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#000000}}};background: {{{background colour|#f5f5f5}}}; text-align: center;"
|{{{title|}}}
{{{equation|<math>\frac{dP}{dr}=-\frac{G M(r)\rho(r)}{r^2}</math>}}}
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A equação de equilíbrio hidrostático acima é embasada pela [[mecânica Newtoniana]]. Em regimes relativísticos, em que tal abordagem não é válida, é necessário usar a [[Equação Tolman-Oppenheimer-Volkoff|equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff]].
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