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Regra do quociente: diferenças entre revisões

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{{Cálculo}}
Em [[matemática]], a''' regra do quociente''' (ver [[derivada]]), rege a [[diferenciação]] de quocientes de [[Função (matemática)|funções]] diferenciáveis.
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Pode ser apresentada como:
 
:<math display="block"> \left(\frac{f}{g}\right)'= \frac{gf'-fg'}{g^2}</math>
 
ou, segundo a [[notação de Leibniz]]:
 
:<math display="block"> \frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right)= \frac {v \frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}.</math>
 
<big>'''Demonstração:</big>'''
 
<math display="block">f(x) = <math> \frac{u(x)}{v(x)}</math>\ <big>(I)</bigmath>
 
Então <bigmath>u(x) = f(x). \cdot v(x)</bigmath>
 
'''Pela regra do produto:'''
 
<math display="block">u'(x) = f'(x). \cdot v(x) + f(x). \cdot v'(x)\ <big>(II)</bigmath>
 
Utilizando <big>(I)</big> e <big>(II)</big>, temos:
 
<bigmath display="block">u'(x) = f'(x). \cdot v(x)+ <math>\frac{u(x)}{v(x)}</math>. \cdot v'(x) </math>
 
<math display="block">u'(x) = <math>\frac{f'(x). \cdot v(x). \cdot v(x)+ u(x). \cdot v'(x)}{v(x)}</math>
 
<math display="block">u'(x). \cdot v(x) = f'(x). \cdot v(x). \cdot v(x) + u(x). \cdot v'(x)</math>
 
<math display="block">u'(x). \cdot v(x) - u(x). \cdot v'(x) = f'(x). \cdot v(x). \cdot v(x)</math>
 
<math display="block">\frac{u'(x). \cdot v(x) - u(x). \cdot v'(x)}{v(x)^2}</math> = f'(x)</bigmath>
 
<bigmath display="block">f'(x) =</big> <math> \frac{u'v-v'u}{v^2}</math>
 
{{Portal3|Matemática}}
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