Teorema da função implícita: diferenças entre revisões

Seja <math>f:\mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}</math> uma função de classe <math>C^1</math>(possua derivadas parciais contínuas). Denote os pontos em <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>por <math>(\boldmathbf x,z_0)</math>, onde <math>\boldmathbf x\in \mathbb{R}^{n}</math>e <math>z \in \mathbb{R}</math>

Assuma que <math>(\boldmathbf x,z_0)</math>satisfaz <math>f(\boldmathbf x_0,z_0)= 0</math> e <math>{\partial f\over \partial z}(\boldmathbf x_0,z_0)\neq0</math>. Então existe uma bola <math>U</math>que contem <math>\boldmathbf{x_0}</math>em <math>\mathbb{R}^n</math>e uma vizinhança <math>V</math>de <math>z_0</math>em <math>\mathbb{R}</math> tal que existe uma única função <math>z=g(\boldmathbf{x}) </math> definido para '''<math>\boldmathbf{x} </math>'''em '''<math>U</math>'''e <math>z</math>em '''<math>V</math>'''que satisfaz <math>f(\boldmathbf{x},g(\boldmathbf{x}))=0 </math>.

Além disso, se '''<math>\boldmathbf{x} </math>'''em '''<math>U</math>'''e <math>z</math>em '''<math>V</math>'''satisfaz <math>f(\boldmathbf{x},z)= 0</math>, então <math>z=g(\boldmathbf{x}) </math>. Finalmente, <math>z=g(\boldmathbf{x}) </math> é de classe <math>C^1</math>(é uma função com derivadas contínuas), e suas derivadas parciais são calculadas por:

. <math> {\partial g\over \partial x_i}(\boldmathbf{x})= -{{\partial f\over \partial x_i}(\boldmathbf{x},g(\boldmathbf{x}))\over {\partial f\over \partial z}(\boldmathbf{x},g(\boldmathbf{x}))} </math> para <math>i= 1,..,n</math>

A demonstração é essencialmente a mesma da parte A (adaptado de Marsden e Tromba - Vector Calculus - 4ª edição) . Vamos mostrar para <math>n=2</math>, logo <math>f:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}</math>. O caso geral para qualquer <math>n </math> é similar, apenas mudando a notação. Escrevemos '''<math>\boldmathbf{x} = (x,y) </math>'''e '''<math>\boldmathbf{x_0} = (x_0,y_0) </math>'''. Por hipótese <math>{\partial f\over \partial z}(x_0,y_0,z_0)\neq0</math>, logo ou é positivo ou é negativo, para fixar as ideias vamos supor que <math>{\partial f\over \partial y}(x_0,y_0,z_0) = 2M >0</math>.

. <math> f(\boldmathbf x,z_0+c) = f(\boldmathbf x,z_0+c)-f(\boldmathbf x_0,y_0) = [f(\boldmathbf x,z_0+c)-f(\boldmathbf x_0,z_0+c)]+[f(\boldmathbf x_0,z_0+c)-f(\boldmathbf x_0,y_0)] </math> <big>'''(6)'''</big>

Considere a função <math> h(t)=f(t \boldmathbf x +(1-t) \boldmathbf x_0, z_0+c) </math>para <math> \boldmathbf x </math>e <math> z </math>fixos. Pelo teorema do valor médio existe um número <math> \theta </math> entre 0 e 1 tal que

. <math> f(\boldmathbf x,z_0+c)-f(\boldmathbf x_0,z_0+c) = [D_xf(\theta \boldmathbf x +(1 - \theta) \boldmathbf x_0, z_0+c)](\boldmathbf x -\boldmathbf x_0) </math>

.<math> f(\boldmathbf x,z_0+c) = [D_xf(\theta \boldmathbf x +(1 - \theta) \boldmathbf x_0, z_0+c)](\boldmathbf x -\boldmathbf x_0)+[{\partial f\over \partial z}(\boldmathbf x_0, \phi (z_0+c) +(1-\phi)z_0)]((z_0+c)-z_0) </math>

<math> f(\boldmathbf x,z_0+c) = </math>

[{\partial f\over \partial x}(\theta\boldmathbf x+(1-\theta)\boldmathbf x_0,z_0+c)](x-x_0)

+[{\partial f\over \partial y}(\theta\boldmathbf x+(1-\theta)\boldmathbf x_0,z_0+c)](y-y_0) + [{\partial f\over \partial z}(\boldmathbf x_0+\phi z+(1-\phi)z_0)]((z_0+c)-z_0) </math> '''<big>(7)</big>'''

Agora se definirmos <math> \delta = min\{a,b, {Mc \over 2P} \} </math> e <math> ||\boldmathbf x-\boldmathbf x_0||<\delta </math> temos que o primeiro termo e o segundo termo do lado direito de '''(7)''' é em valor absoluto menor que <math> P{Mc \over 2P}={Mc \over 2}</math> e o segundo termo do lado esquerdo de '''(7)''' é maior ou igual a <math> Mc>0</math>, portanto <math> f(\boldmathbf x,z_0+c) </math>é positivo. Repetindo o mesmo procedimento de '''(6)''' e '''(7)''' para <math> f(\boldmathbf x,z_0-c) </math> chegaremos a conclusão que <math> f(\boldmathbf x,z_0-c) </math> é negativo. Agora usando o Teorema do Valor Intermediário<ref name=":0" /> chegamos a conclusão que existe <math>z</math> entre <math> z_0-c </math> e <math> z_0+c </math> tal que <math> f(x,y,z) = 0</math>. E este ponto <math>z</math> é único pois para cada <math>\boldmathbf x =(x,y)</math> fixado <math>f</math> é crescente pois <math>{\partial f\over \partial z}>0</math> em <math> I \times \bar{J}</math>, e isto mostra que depois que <math>f</math> passa do zero ela continua crescendo(ela não retorna ao zero). Logo para cada <math>\boldmathbf x</math> tal que <math> ||\boldmathbf x-\boldmathbf x_0||<\delta </math> existe um único <math> z </math> tal que <math> f(\boldmathbf x,z) = f(x,y,z)=0 </math> e esta relação de um para um, para cada <math> \boldmathbf x=(x,y) </math>existe um único <math> z </math>, define uma função <math> z=g(x,y)=g(\boldmathbf x)</math>. Assim a primeira parte deste segundo teorema está demonstrado.