Espaço completo: diferenças entre revisões
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m Exemplos |
Um pouco sobre a completação de um espaço métrico que não é completo |
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Linha 8:
* Nenhum outro subconjunto de <math>\mathbb{R}</math> é completo (por exemplo, <math>\mathbb{Q}</math>).
== Espaços métricos não-completos ==
Seja ''E'' um espaço métrico qualquer. Se ''E'' não é completo, pode ser construída uma extensão de ''E'', <math>\bar{E}\,</math>, com as seguintes propriedades:
* A inclusão i: E -> <math>\bar{E}\,</math>, i(x) = x, é uma [[isometria]] de E para a sua imagem i(E).
* ''E'' é denso em <math>\bar{E}\,</math>.
* <math>\bar{E}\,</math> é um espaço completo.
Pode-se mostrar que <math>\bar{E}\,</math> é ''único'', no seguinte sentido:
* Se <math>\bar{E_1} \mbox{ e } \bar{E_2}\,</math> são espaços métricos completos, <math>i_k: E \rightarrow \bar{E_k}\,</math> são isometrias de E para suas imagens com as imagens densas, então <math>\bar{E_1} \mbox{ e } \bar{E_2}\,</math> são isométricos.
=== Esboço da construção ===
A construção de <math>\bar{E}\,</math> é intuitiva: como, em ''E'', algumas sequências de Cauchy não convergem, basta ''acrescentar'' a ''E'' cada uma delas, evitando repetir duas sequências que convergiriam para o mesmo elemento.
{{mínimo sobre|matemática}}
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