Diferenças entre edições de "Série harmónica (matemática)"

Série harmónica (matemática) (editar)

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<!-- artigo precisa ter mais fontes //--> Em [[matemática]], a ~~'''~~{{PBPE\|série harmônica~~'''~~\|série harmónica}} é a [[Série (matemática)\|série infinita]] definida como: : <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots</math> O nome ''~~harmônica~~harmónica'' é devido à semelhança com a [[proporcionalidade]] dos [[comprimento de onda\|comprimentos de onda]] de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver [[série harmônica (música)]]). Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na [[Idade Média]] por [[Nicole d'Oresme]]<ref>{{Citar web \|url=http://www.pb.utfpr.edu.br/vanderlei/picme/serieharmonica.pdf \|título=Série Harmônica, formato pdf \|língua= \|autor= \|obra= \|data= \|acessodata=}}</ref>) faz-se tendo em conta que a série == Série harmônica alternada == A '''série ~~harmônica~~harmónica alternada''' é definida conforme: : <math>\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.</math> Esta série é convergente como consequência do [[teste da série alternada]], e seu valor pode ser calculado pela [[série de Taylor]] do [[logaritmo natural]]. Se se definir o ''n''-ésimo '''número ~~harmônico~~harmónico''' tal que : <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}</math> então ''H''<sub>''n''</sub> cresce tão rapidamente quanto o [[logaritmo natural]] de ''n''. Isto porque a soma é aproximada ao ~~integrar~~integral : <math>\int_1^n {1 \over x}\, dx</math> cujo valor é ln(''n''). em que σ(''n'') é a soma dos divisores positivos de ''n''. (Ver {{citar periódico\|ultimo = Lagarias\|primeiro = Jeffrey C.\|titulo = An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis\|jornal = The American Mathematical Monthly\|doi = 10.2307/2695443\|url = https://www.jstor.org/stable/2695443\|volume=109\|ano=2002\|páginas=534-543}}.) A '''série ~~harmônica~~harmónica generalizada''', ou '''série-''p''''', é (qualquer uma) das séries :<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}</math> para ''p'' um [[número real]] positivo. A série é convergente se ''p'' > 1 e divergente caso contrário. Quando ''p'' = 1, a série é ~~harmônica~~harmónica. Se ''p'' > 1 então a soma das série é ζ(''p''), i.e., a [[função zeta de Riemann]] em ordem a ''p''. Este raciocínio pode-se estender ao teste de [[convergência]] das séries. == Série divergente == {{Artigo principal\|[[série divergente]]}} Existem definições da soma de séries divergentes que geram resultados importantes. Por exemplo, é possível justificar (sob um conceito generalizado dade soma de uma série) que 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 ou 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4, e até mesmo somas paradoxais como 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 ou 1 + 4 + 9 + 16 + ... = 0. No entanto, mesmo usando-se estes conceitos, a soma da série ~~harmônica~~harmónica continua sendo infinita - o que é coerente com o valor da [[função zeta de Riemann]] no ponto z = 1. == Ver também == * [[Média harmónica~~\|Média harmônica~~]] * [[Razão harmônica]]