Diferenças entre edições de "Série harmónica (matemática)"

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Desfeita parcialmente a edição 54435211 de Tentre, -hack obsoleto desde o mw:MediaWiki 1.19 (ver também phab:rSVN104498 e phab:T33406#344368), format. <math> e pontuação
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m (Desfeita parcialmente a edição 54435211 de Tentre, -hack obsoleto desde o mw:MediaWiki 1.19 (ver também phab:rSVN104498 e phab:T33406#344368), format. <math> e pontuação)
Etiqueta: Desfazer
 
Em [[matemática]], a {{PBPE|série harmônica|série harmónica}} é a [[Série (matemática)|série infinita]] definida como:
: <math display="block">\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +
\cdots</math>
 
Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na [[Idade Média]] por [[Nicole d'Oresme]]<ref>{{Citar web |url=http://www.pb.utfpr.edu.br/vanderlei/picme/serieharmonica.pdf |título=Série Harmônica, formato pdf |língua= |autor= |obra= |data= |acessodata=}}</ref>) faz-se tendo em conta que a série
: <math display="block">\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \! =
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots</math>
 
é termo a termo maior que ou igual à série
 
: <math display="block">\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots</math>
:::<math display="block"> = \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots</math>
 
que claramente diverge.
{{Artigo principal|[[série dos inversos dos primos]]}}
Um resultado refinado prova que a [[série dos inversos dos primos]] diverge para [[infinito]]:
:<math display="block">\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{p_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+ ... =\infty\,</math>
 
== Série harmônica alternada ==
A '''série harmónica alternada''' é definida conforme:
: <math display="block">\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.</math>
 
Esta série é convergente como consequência do [[teste da série alternada]], e seu valor pode ser calculado pela [[série de Taylor]] do [[logaritmo natural]].
 
Se se definir o ''n''-ésimo '''número harmónico''' tal que
: <math display="block">H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}</math>
 
então ''H''<sub>''n''</sub> cresce tão rapidamente quanto o [[logaritmo natural]] de ''n''. Isto porque a soma é aproximada ao integralintegrar
: <math display="block">\int_1^n {1 \over x}\, dx</math>
cujo valor é ln(''n'').
 
Mais precisamente, se considerarmos o limite:
: <math display="block"> \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma</math>
onde γ é a [[constante de Euler-Mascheroni]], pode ser provado que:
 
[[Jeffrey Lagarias]] provou em [[2001]] que a [[hipótese de Riemann]] é equivalente a dizer:
 
:<math display="block">\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ para qualquer }n\in\mathbb{N}</math>
 
em que σ(''n'') é a soma dos divisores positivos de ''n''. (Ver {{citar periódico|ultimo = Lagarias|primeiro = Jeffrey C.|titulo = An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis|jornal = The American Mathematical Monthly|doi = 10.2307/2695443|url = https://www.jstor.org/stable/2695443|volume=109|ano=2002|páginas=534-543}}.)
A '''série harmónica generalizada''', ou '''série-''p''''', é (qualquer uma) das séries
 
:<math display="block">\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}</math>
 
para ''p'' um [[número real]] positivo. A série é convergente se ''p'' > 1 e divergente caso contrário. Quando ''p'' = 1, a série é harmónica. Se ''p'' > 1 então a soma das série é ζ(''p''), i.e., a [[função zeta de Riemann]] em ordem a ''p''.