Cicloide: diferenças entre revisões
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[[Imagem:Cycloid animated.gif|thumb|290px|right|A vermelho uma ciclóide gerada por um círculo em movimento]]
Uma cicloide invertida é a solução para o problema da [[braquistócrona]].
== História ==
:O cicloide tem sido chamado de "A Helena dos Geômetros", uma vez que causou discussões freqüentes entre os matemáticos do século XVII.<ref>{{citar livro|título=A History of Mathematics|ultimo=Cajori|primeiro=Florian|ano=1999|local=New York: Chelsa|páginas=p.177}}</ref>
:Historiadores da matemática propuseram vários descobridores do cicloide. O historiador matemático [[Paul Tannery]] citou um trabalho semelhante do filósofo sírio Iamblichus como evidência de que a curva era provavelmente conhecida na antiguidade.<ref>{{citar livro|título=Pour l'histoire des lignes et surfaces courbes dans l'antiquité|ultimo=Tannery|primeiro=Paul|editora=Bulletin des sciences mathèmatique|ano=1883|local=Paris|páginas=284}}</ref> O matemático inglês [[John Wallis]], escrevendo em 1679, atribuiu a descoberta a [[Nicolau de Cusa]], <ref>{{citar livro|título=An Extract of a Letter from Dr. Wallis, of May 4. 1697, Concerning the Cycloeid Known to Cardinal Cusanus, about the Year 1450; and to Carolus Bovillus about the Year 1500|ultimo=Wallis|primeiro=D.|editora=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|ano=1695|páginas=|acessodata=}}</ref>mas estudos posteriores indicam que Wallis estava equivocado ou que as evidências usadas por Wallis estavam perdidas. O nome de [[Galileu Galilei|Galileo Galilei]] foi apresentado no final do século 19 e pelo menos um autor relata o crédito dado a [[Marin Mersenne]]. Começando com o trabalho de [[Moritz Cantor]] e [[Siegmund Günther]], estudiosos agora atribuem prioridade ao matemático francês Charles de Bovelles com base em sua descrição do cicloide em seu ''Introductio in geometriam,'' publicado em 1503. Neste trabalho, Bovelles confunde o arco traçado por uma roda giratória como parte de um círculo maior com um raio 120% maior que a roda menor.[[Ficheiro:Cycloid r=2.png|thumb|370px|Desenho de uma ciclóide gerada por um circunferência de raio ''r''=2]]Galileu originou o termo cicloide e foi o primeiro a fazer um estudo a respeito da curva. De acordo com seu aluno Evangelista [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], em 1599, Galileu tentou a quadratura do cicloide (determinando a área sob o cicloide) com uma abordagem extraordinariamente empírica que envolvia traçar tanto o círculo gerador quanto o cicloide resultante na chapa, cortando-os e pesando-os. Ele descobriu que a proporção era de aproximadamente 3:1, mas concluiu incorretamente que a proporção era uma fração irracional, o que tornaria a quadratura impossível. Por volta de 1628, Gilles Persone de Roberval provavelmente soube do problema da quadratura de Père Marin Mersenne e efetuou a quadratura em 1634 usando o [[Princípio de Cavalieri|Teorema de Cavalieri]]. No entanto, este trabalho não foi publicado até 1693 (no seu Traité des Indivisibles).<ref>{{citar livro|título=A Study of Roberval's Traité des Indivisibles|ultimo=Evelyn|primeiro=Walker|ano=1932|local=Columbia University}}</ref>
:A construção da tangente do cicloide data agosto de 1638, quando Mersenne recebeu métodos únicos de Roberval, Pierre de Fermat e [[René Descartes]]. Mersenne passou esses resultados para Galileu, que os deu a seus alunos Torricelli e Viviana, que conseguiram produzir uma quadratura. Este resultado e outros foram publicados por Torricelli em 1644, que é também o primeiro trabalho impresso sobre o ciclóide. Isto levou Roberval a acusar Torricelli de plágio, com a controvérsia interrompida pela morte prematura de Torricelli em 1647.
:Em 1658, [[Blaise Pascal]] havia desistido da matemática para teologia, mas, enquanto sofria de dor de dente, começou a considerar vários problemas relativos ao cicloide. Sua dor de dente desapareceu, e ele tomou isso como um sinal celestial para prosseguir com sua pesquisa. Oito dias depois, ele completou seu ensaio e, para divulgar os resultados, propôs um concurso. Pascal propôs três questões relativas ao centro de gravidade, área e volume do cicloide, com o vencedor ou vencedores recebendo prêmios de 20 e 40 doubloons espanhóis. Pascal, Roberval e o senador Carcavy eram os juízes, e nenhum dos dois argumentos (por [[John Wallis]] e [[Antoine de Laloubère|Antoine de Lalouvère]]) foram julgados adequados. Enquanto a competição estava em andamento, Christopher Wren enviou a Pascal uma proposta para um prova da retificação do cicloide. Roberval alegou prontamente que ele sabia da prova há anos. Wallis publicou a prova de Wren (creditando Wren) no Tractus Duo de Wallis, dando a Wren prioridade para a primeira prova publicada.
:Quinze anos depois, [[Christiaan Huygens]] implantou o pêndulo cicloidal para melhorar os cronômetros e descobriu que uma partícula atravessaria um segmento de um arco cicloide invertido no mesmo intervalo de tempo, independentemente de seu ponto de partida. Em 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz usou a geometria analítica para descrever a curva com uma única equação. Em 1696, [[Johann Bernoulli]] apresentou o problema da braquistocrona, cuja solução é um cicloide.
== Equações ==
O cicloide através da origem, com uma base horizontal dada pela linha y = 0, esta linha também sendo conhecida como o eixo x, gerado por um círculo de raio r rolando sobre o lado "positivo" da base (y ≥ 0 ), consiste dos pontos (x, y), com
:<math>x = r(t - \,\mathrm{sen}\, t)\,</math>
:<math>y = r(1 - \cos t)\,</math>
:Resolvendo para t e substituindo, a equação cartesiana é dada como:
:
:<math>x = \left ( \frac{
:Uma equação para o cicloide da forma y = f (x) com uma expressão usando a [[Regra de Fleming|regra da mão direita]] não é possível.
:Quando y é visto como uma função de x, o cicloide é diferenciável em todos os lugares, exceto nas cúspides, onde atinge o eixo x, com a derivada tendendo para infinito positivo ou infinito negativo quando se aproxima de uma cúspide. O mapa de t para (x, y) é uma curva diferenciável ou curva paramétrica da classe C∞ e a singularidade onde a derivada é 0 é uma cúspide comum.
:Um segmento cicloide de uma cúspide para a próxima é chamado de arco do cicloide. O primeiro arco do cicloide consiste em pontos tais que:
:<math>0\leq t \leq 2\pi </math>.
:O cicloide satisfaz a equação diferencial:
:<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r}{y}-1</math>
== Área ==
:Um arco de um cicloide gerado por um círculo de raio r pode ser parametrizado por
▲:<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}</math>
:<math>x = r(t - \,\mathrm{sen}\, t)\,</math>
:<math>y = r(1 - \cos t)\,</math>
:''Sendo'': <math>\operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t=r\bigl(1-cost)</math>
:<math>0\leq t \leq 2\pi</math>
:''Desde''
:<math>\operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t=r\bigl(1-cost)</math>
:A área sobre o arco é:
:<math>A =\int\limits_{x=0}^{x=2\pi.r} ydx = \int_{t=0}^{t=2\pi} r^2\bigl(1-cost)^2dt</math>
:<math>= 3\pi.r^2</math>
:Esse resultado e algumas generalizações podem ser obtidas sem cálculo pelo método visual de Mamikon.
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