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==Redução da equação geral de terceira ordem==
A equação geral de terceiro grau
: <math display="block">Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0</math>
com [[Número real|números reais]] <math>A,</math>, <math>B,</math>, <math>C</math> e <math>D,</math>, com <math>A\ne0,</math>, pode mediante divisão por <math>A</math> ser posteriormente representada na ''forma normal''
: <math display="block">x^3 + ax^2 + bx + c = 0.</math>.
Aplicando a substituição <math>x = z-\tfrac{a}3</math> na forma normal, o coeficiente que multiplica <math>z^2
</math>se torna nulo, resultando a ''forma reduzida'':
:<math display="block">z^3 +pz + q=0,</math>,
sendo que
Uma solução inicial para a forma reduzida é obtida da fórmula de Cardano e então, mediante substituição da variável auxiliar <math>x=z-\tfrac{a}3</math> a solução da equação original é determinada. As outras duas soluções, não necessariamente reais ou sequer distintas, podem ser obtidas pelo [[Algoritmo de Briot-Ruffini|Algoritmo de Briot Ruffini]], que resulta em uma equação quadrática cujas soluções podem ser determinadas por métodos convencionais.
Vale lembrar que algumas equações cúbicas que aparentam possuir somente uma raiz ao senso comum, podem possuir duas raízes complexas distintas, como é o caso de<math>x^3-1 = 0,</math>, que possui solução trivial <math>x=1,</math>, mas também é satisfeita por <math>x=-\tfrac12 \plusmn \tfrac\sqrt32i.</math>.
==Fórmula de Cardano para solução da forma reduzida z³ + pz + q = 0==
Diferentemente da [[equação quadrática]], no caso da equação cúbica é necessário considerar números complexos, especialmente quando as três raízes são reais.
As três raízes são obtidas pela substituição <math>z=u+v:</math>: Então
<math>z^3 = \left(u+v\right)^3 =
e a comparação dos coeficientes fornece
<math>-p = 3uv</math> e <math>-q = u^3+v^3.</math>.
Assim, chegamos a
<math>z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.</math>.
Relembrando, <math>x=z-\frac{a}{3}.</math>.
Um fato interessante é que, muitas vezes, essa fórmula descreve um resultado como a soma de duas raízes cúbicas de números complexos. Todavia, ao serem calculadas, as partes imaginárias somadas se anulam, entregando como soma um número perfeitamente real. Esse fato um tanto quanto intrigante à época foi um forte estopim para o desenvolvimento da investigação acerca de números além de <math>\mathbb{R}</math><ref>{{Citar periódico|data=2018-09-13|titulo=Número complexo|url=https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complexo&oldid=53125835|jornal=Wikipédia, a enciclopédia livre|lingua=pt}}</ref>, inicialmente tidos como gambiarras para a resolução de problemas ou números imaginários e, posteriormente, formalizados como um novo conjunto de números sobre os reais: os números complexos.
== Dedução detalhada ==
Depois de reduzir a equação completa a <math>z^3 + pz + q = 0</math> e substituir <math>z</math> por <math>u+v,</math>, chega-se a
<math>u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+pu+pv+q=0,</math>,
o que pode ser reescrito como
<math>(u^3+v^3)+(u+v)(3uv+p)+q=0.</math>.
Há infinitos pares <math>u</math> e <math>v</math> que somados resultam em <math>z.</math>. Portanto, escolhe-se o par tal que
<math>u^3+v^3=-q .</math>.
Dessa forma, a equação obtida pela substituição pode ser reescrita de forma mais compacta como
<math>(u+v)(3uv+p)=0.</math>.
Não é necessário considerar o caso em que <math>u+v=0</math>pois a equação inicial seria trivial com <math>q=0,</math>, podendo ser resolvida por fatoração. Logo, considera-se que
<math>3uv+p=0 \Rightarrow</math>
<math>uv=-\frac{p}3.</math>.
Considerando-se as relações entre soma e produto de raízes ditas pelas [[relações de Girard]] para equações [[Polinômios mônicos|mônicas]] do segundo grau, é possível definir
<math>w^2 + qw -\frac{p^3}{27}=0</math>
que tem como soluções <math>u^3</math>e <math>v^3,</math>, descritas pela [[Fórmula de Bhaskara|fórmula de Bháskara]]. Dessa forma, é imediato que
<math>u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}</math> e
<math>v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.</math>.
Mas como
<math>z=u+v, \Rightarrow</math>
<math>z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}},</math>, o que encerra a prova.{{em tradução|:de:Cardanische Formeln}}
<!--
Es ergibt sich also das Gleichungssystem <math>u^3+v^3 = -q</math> und <math>\textstyle u^3\cdot v^3 = -\left(\frac{p}3\right)^3</math>. Nach dem [[Satz von Vieta]] sind <math>u^3</math> und <math>v^3</math> Lösungen der quadratischen [[Lagrange-Resolvente|Resolvente]] <math>\textstyle t^2+qt-\frac{p^3}{27} = 0</math>. Also erhält man <math>\textstyle u = \sqrt[3]{-\frac{q}2 + \sqrt{D}}</math> und <math>\textstyle v = \sqrt[3]{-\frac{q}2 - \sqrt{D}}</math>, wobei
:<math>D:=\left(\frac{q}2\right)^2 + \left(\frac{p}3\right)^3</math>
die [[Diskriminante]] der reduzierten Form ist. Die beiden komplexen 3. Wurzeln <math>u</math> und <math>v</math> müssen dabei so gewählt werden, dass die Nebenbedingung <math>\textstyle u\cdot v = -\frac{p}3</math> erfüllt ist (dadurch gibt es statt 9 nur 3 Paare <math>(u,v)</math>).
Die beiden anderen dritten Wurzeln ergeben sich dann jeweils durch Multiplikation mit den beiden primitiven dritten [[Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]
:<math>\varepsilon_1=-\tfrac12 + \tfrac12 i\sqrt3</math> und <math>\varepsilon_2 = \varepsilon_1^2 = -\tfrac12 - \tfrac12 i\sqrt3</math>.
Wegen der Nebenbedingung ergeben sich die drei Lösungen der reduzierten Form zu
:<math>\begin{align}
z_1 &= u + v\\
z_2 &= u\varepsilon_1 + v\varepsilon_2\\
z_3 &= u\varepsilon_2 + v\varepsilon_1
\end{align}</math>
[[Bild:Gleichung3.gif|thumb|300px|Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante und der Anzahl der Nullstellen]]
Das Lösungsverhalten hängt entscheidend vom Vorzeichen der Diskriminante ab:
* <math>D>0</math>: Es gibt genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe Lösungen (Grafik: Fall B).
* <math>D=0</math>: Es gibt entweder eine doppelte reelle Lösung und eine einfache reelle Lösung (Fall C) oder eine dreifache reelle Lösung (Fall A).
* <math>D<0</math>: Es gibt drei verschiedene reelle Lösungen (Fall D).
Im Fall <math>D>0</math> gibt es für den Verlauf des zugehörigen Graphen zwei Möglichkeiten: entweder (Fall B) oder streng monoton wachsend (nicht im Bild dargestellt).
=== ''D'' > 0 ===
Man wählt für <math>u</math> und <math>v</math> jeweils die reellen Wurzeln.
Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die nach den obigen Formeln durch
:<math>\begin{align}
z_1&=u + v\\
z_{2,3} &= -\frac{u+v}2 \pm \frac{u-v}2\,\mathrm i \sqrt3
\end{align}</math>
gegeben sind.
Allerdings ist das Ausziehen der Kubikwurzeln nicht immer so einfach. Cardano führt als Beispiel an: <math>z^3+6z-20=0</math>. Hierbei wählen wir <math>\textstyle u=\sqrt[3]{10 + \sqrt{108}} = 1+\sqrt3</math> und <math>\textstyle v=\sqrt[3]{10 - \sqrt{108}} = 1-\sqrt3</math> reell. Somit ergibt sich <math>z_1=2</math> und <math>z_{2,3}=-1\pm 3i</math>. Auf die Techniken zum Ausziehen von [[Wurzel (Mathematik)|verschachtelten Wurzeln]] sei auf die Fachliteratur verwiesen.
=== ''D'' = 0 ===
In diesem Fall wählt man <math>u=v</math> reell. Nach den obigen Formeln gibt es dann eine einfache reelle Lösung
: <math>z_1 = 2u = \sqrt[3]{-4q} = \frac{3q}p</math>,
und eine doppelte reelle Lösung
: <math>z_{2,3} = -u = \sqrt[3]{\frac{q}2} = -\frac{3q}{2p}</math>.
Ist <math>p=q=0</math>, so ist <math>z=0</math> die einzige (dreifache) Lösung.
=== {{Anker|Casus irreducibilis}}''D'' < 0 (''casus irreducibilis'') ===
Man wählt <math>u</math> und <math>v</math> jeweils konjugiert komplex zueinander, so ergeben sich dann durch <math>z=u+v = u+\overline{u} = 2\operatorname{Re}(u)</math> drei verschiedene reelle Lösungen.
Bei der Bestimmung von <math>u</math> müssen jedoch dritte Wurzeln aus echt komplexen Zahlen (z.B. mit Hilfe des [[Moivrescher_Satz|Satzes von de Moivre]]) berechnet werden. Deshalb wird dieser Fall ''casus irreducibilis'' genannt. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Lösungen jedoch auch reell berechnet werden: Nach den [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoremen]], gilt für alle α die Beziehung
: <math>\cos^3\alpha=\frac{\cos 3\alpha+3\cos\alpha}4\qquad\qquad(1)</math>
Schreibt man
: <math>0=z^3+p\cdot z+q</math>
mit Hilfe des Ansatzes <math>z=r\cdot\cos\alpha</math> um, ergibt sich
: <math>0=r^3\cdot\cos^3\alpha+p\cdot r\cdot\cos\alpha+q</math>
Setzt man hierin <math>(1)\,</math> ein, dann entsteht
:<math>\begin{align}
0&=r^3\cdot\frac{\cos 3\alpha+3\cos\alpha}4 + p\cdot r\cdot\cos\alpha+q \\
&=\frac{r^3}4 \cos 3\alpha + \left(\frac34r^2 + p\right)\cdot r\cdot\cos\alpha+q \qquad\quad(2)\\
&\,= \sqrt{-\frac{4}{27}\,p^3}\cdot\cos 3\alpha+q
\end{align}</math>
Dabei wurde <math>\textstyle r=\sqrt{-\frac{4}{3}\, p}</math> gewählt, so dass der Klammerausdruck in (2) verschwindet. Es ergibt sich
: <math>\begin{align}
\cos 3\alpha &= -\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\\[1em]
\iff\quad
\alpha &= \frac13\arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)+\frac{2}{3}k \pi
\end{align}</math>
mit ganzen Zahlen <math>k</math>.
Einsetzen in <math>z = r\cdot\cos\alpha</math> liefert mit <math>k = -1, 0, 1</math> und <math>\cos(\alpha\pm\tfrac{2\pi}3)=-\cos(\alpha\mp\tfrac\pi3)</math> die folgenden drei Lösungen:
:<math>\begin{align}
z_2 &= -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{\pi}{3} \right)\\[.7em]
z_1 &=\quad\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) \right)\\[.7em]
z_3 &= -\,\sqrt{-\frac{4}{3}p} \cdot \cos\left( \frac13 \arccos\left( -\frac{q}{2} \cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) - \frac{\pi}{3} \right)
\end{align}</math>
== Komplexe Koeffizienten ==
Das Vorgehen ist für komplexe Koeffizienten weitgehend analog, es gibt aber nur zwei Fälle:
* <math>D\ne0</math>: Die oben für den Fall <math>D>0</math> angegebenen Formeln gelten analog; die beiden dritten Wurzeln sind dabei so zu wählen, dass ihr Produkt <math>-\tfrac{p}{3}</math> ergibt.
* <math>D=0</math>: Die oben für den Fall <math>D=0</math> angegebenen Formeln gelten unverändert.
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==Bibliografia==
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