Combinação: diferenças entre revisões

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Uma '''combinação sem repetição''', em [[análise combinatória]], é um subconjunto com <math>s\,\!</math> elementos em um conjunto <math>\mathbb{U}\,\!</math>, com <math>n\,\!</math> elementos. Como é um conjunto, não há repetição de membros dentro do conjunto.

O número de [[subconjunto]]s de <math>s\,\!</math> elementos diferentes de um [[conjunto]] de <math>n\,\!</math> elementos diferentes pode ser representado por: <math>C^n_s\,\!</math>, <math>\begin{matrix}{{n}\choose{s}}\end{matrix}\,\!</math>, <math>{}^nC_s\,\!</math> ou <math>{C}{\left(n,s\right)}\,\!.</math>.

*<math>C_{3,2}\,</math> indica de quantas formas distintas é possível escolher 2 elementos de um grupo de 3 elementos, digamos as 3 primeiras letras do [[alfabeto]]: {a,b,c}. As três possíveis combinações são:

*A combinação <math>C_{4,2}\,</math> indica de quantas formas distintas é possível escolher dois elementos de um grupo de 4, digamos as quatro primeiras letras do [[alfabeto]]: {a,b,c,d}. As seis possíveis combinações são:

<math>C^4_2={4\choose 2} =\frac{4!}{2!\cdot\left(4-2\right)!}\,\!</math><math>=</math>

<math>C^n_s={n\choose s} =\frac{n!}{s!\cdot\left(n-s\right)!}\,\!</math>

Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com <math>s\,\!</math> elementos de <math>n\,\!</math>, é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de <math>s\,\!</math> elementos de <math>n\,\!</math> existem.

<math>A^s_n=\frac{n!}{\left(n-s\right)!}\,\!</math>

Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os <math>s\,\!</math> elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os <math>s\,\!</math> elementos podem ser arranjados.

<math>A^s_s=s!\,\!</math>

Sabendo o número de arranjos possíveis com <math>s\,\!</math> elementos de <math>n\,\!</math>, e o número de vezes que cada combinação com <math>s\,\!</math> elementos de <math>n\,\!</math> se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.

<math>C^n_s=\frac{\frac{n!}{\left(n-s\right)!}}{s!}\,\!</math>

<math>C^n_s=\frac{n!}{s!\cdot\left(n-s\right)!}\,\!</math>

No [[Triângulo de Pascal]], é possível encontrar-se o valor de <math>C^s_n\,\!</math> sem usar a fórmula direta. Nesse triângulo, <math>s\,\!</math> é o número da coluna e <math>n\,\!</math>, da linha, onde está o valor da combinação. Essa relação é melhor explicada no artigo sobre [[Binômio de Newton|binômios de Newton]].

Uma combinação <math>C^s_n\,\!</math> só é possível quando <math>n>0\,\!</math> e <math>0<{s}\le{n}\,\!.</math>.

== VejaVer também ==