Diferenças entre edições de "Elemento inverso"

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{{revisão-sobre|Matemática|data=maio de 2014}}
'''Elemento inverso''', em [[matemática]], é aquele cuja utilização numa [[operação binária]] matemática bem definida ''resulta no [[elemento neutro]] específico dessa operação'' — por essa razão simples a justificar a sua inversibilidade operacional. Às vezes costuma ser chamado também de '''[[elemento oposto]]'''. Não é o mesmo que o '''[[elemento simétrico]]''', como é costume afirmar-se. Por exemplo, o elemento inverso de "a" é "1/a" enquanto que o elemento simétrico de "a" é "-a". Também pode ser chamado simplesmente — quando não houver possibilidade de confusão ou pelo uso estrito em domínio específico, inambíguo ou unívoco — de '''[[oposto]]'''.
== Definições formais ==
=== Em um grupoide com unidade ===
Seja <math>S</math> um conjunto munido de uma operação binária <math>*,</math>, isto é, um [[Grupoide (estrutura algébrica)|grupoide]] ou [[sistema matemático]]{{Carece de fontes|data=maio de 2014}}. Se <math>e</math> é um elemento neutro de <math>(S, *),</math>, ou seja, <math>S</math> é um grupoide com unidade, e <math>a</math> é um elemento qualquer pertencente a <math>S,</math>, chama-se de '''elemento inverso'' do elemento <math>a</math> a qualquer elemento <math>a^{-1}</math> tal que:
* <math>a^{-1} * a = e</math> e <math>a * a^{-1} = e,</math>, irrestritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso bilateral]]", "[[elemento inverso irrestrito]]" ou "[[Elemento Oposto|elemento inverso]]" simplesmente, pois ''aplicado à esquerda'' ou ''aplicado à direita'' do outro operando, ''resulta, pois, sempre o [[elemento neutro]] <math>e</math>'';
* <math>a^{-1} * a = e</math> mas <math>a * a^{-1} \not= e,</math>, restritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso à esquerda]] apenas", pois só operado à esquerda resulta a neutralização;
* <math>a * a^{-1} = e</math> mas <math>a^{-1} * a \not= e,</math>, restritamente: o elemento é dito "[[elemento inverso à direita]] apenas", pois só operado à direita resulta a neutralização.
 
É importante observar aqui que o símbolo <math>a^{-1}</math> ''não significa, como pode sugerir uma apreciação ligeira, elevar o elemento <math>a</math> ao expoente um negativo (–1)''. Trata-se, tão-somente, de recurso de generalidade simbólica, que faz apelo à ideia da inversão multiplicativa — apenas à ideia — convertendo-a em representação genérica para qualquer e toda inversão, segundo o conceito de elemento inverso.