Regra da cadeia: diferenças entre revisões

Desenvolvida por [[Gottfried Leibniz]], a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do [[Cálculo|cálculo diferencial]]. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de [[Newton]], [[Leibniz]] adotou uma notação referente à [[tangente]], onde a [[derivada]] é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena <math>\left(\dfrac{dy}{dx}\right).</math>.

:<math display="block"> (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\,</math>

que em sua forma sucinta é escrita como: <math> (f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'\,\! </math>

:<math display="block">\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}</math>

* Exemplo 1: Considere <math>f(x) = (x^2 + 1)^3.</math>. Temos que <math>f(x)=h(g(x))</math> onde <math>g(x) = x^2 + 1</math> e <math>h(g(x)) = (g(x))^3.</math> Então, <math display="block">f '(x) = 3(x^2 + 1)^2(2x)= 6x(x^2 + 1)^2.</math>

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função <math>z = f(x,y)</math> onde <math>x = g(t)</math> e <math>y = h(t),</math>, então<ref>[[Diferencial total|ver ''diferencial total'' nesta wikipédia]]</ref>

:<math display="block">{\partial z \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}</math><ref>[[Diferencial total|ver ''diferencial total'' nesta wikipédia]]</ref>

Suponha que cada função de <math>z = f(u,v)</math> é uma função de duas variáveis tais que <math>u = h(x,y)</math> e <math>v = g(x,y),</math>, e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:

:<math display="block">{\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}</math>

:<math display="block">{\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}</math>

Se considerarmos <math>\vec r = (u,v)</math> acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o [[produto escalar]] do [[gradiente]] de <math> f </math> e a derivada de <math>\scriptstyle \vec r:</math>:

:<math display="block">\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}</math>

:<math display="block">\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}</math>