Vibração flexional: diferenças entre revisões
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ex de resolução de um problema de Vibrações livres transversais. |
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Portanto, as frequências flexionais surgem quando um corpo de prova no formato de barra encontra-se apoiado em seus pontos nodais (0,224L) e o mesmo sofre um impacto no centro ou nas extremidades (locais de maior amplitude da onda).<ref name="Standard Test Method for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Impulse Excitation of Vibration; designation: E 1876 – 07. ASTM International, 2007. 15 p.">Standard Test Method for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Impulse Excitation of Vibration; designation: E 1876 – 07. ASTM International, 2007. 15 p.</ref>
Vários tipos de suportes são utilizados para apoiar corretamente os corpos de prova nos pontos nodais de acordo com sua geometria e tamanho e com auxílio de equações matemáticas<ref name="Standard Test Method for Dynamic Young’s Modulus, Shear Modulus, and Poisson’s Ratio by Impulse Excitation of Vibration; designation: E 1876 – 07. ASTM International, 2007. 15 p."></ref> e equipamentos modernos obtém-se o módulo de Young com grande precisão.
=== Vibrações livres transversais ===
Considere o problema de vibrações livres transversais de uma barra infinita governada por
<math>{\operatorname{\partial ^4}\!y\over\operatorname{\partial }\!x^4}+\frac{1}{a^2}{\operatorname{\partial ^2}\!y\over\operatorname{\partial }\!t^2}=0, t>0,x\in(-\infin,+\infin)</math>
<math>y(x,0)=f(x)</math>
<math>{\operatorname{\partial }\!y\over\operatorname{\partial }\!t}(x,0)=ag''(x).</math>
Usando a transformada de Fourier e pondo<math>Y(k,t)=\mathcal{F}\{y(x,t)\}</math>, obtemos
<math>{\operatorname{\partial ^2}\!Y\over\operatorname{\partial }\!t^2}+k^4a^2Y=0</math>
<math>Y(0)=\mathcal{F}\{f\}=F(k)</math>
<math>{\operatorname{\partial }\!Y\over\operatorname{\partial }\!t}(0)=-ak^2G(k).</math>
tendo a resolução
<math>Y(k,t)=F(k)\cos(ak^2t)-G(k)\sen(ak^2t).</math>
Tomando a transformada inversa de Fourier
<math>y(k,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(k) \cos(ak^2t) e^{itk} \, dk - \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty G(k) \sen(ak^2t) e^{itk} \, dk.</math>
Usando o fato que,
<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-k^2a} e^{ikx} \, dk = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}e^{\frac{x^2}{4a}}</math>
e
<math>\frac{1}{(ai)^\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a}}e^{i\frac{1}{4}\pi},</math>
trocamos a por ai para obter
<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty (\cos(ak^2t) - i\sen(ak^2t)) e^{itk} \, dk = \frac{1}{2\sqrt{a\pi}}
e^{(\frac{x^2}{4a}-\frac{\pi}{4})}.</math><ref>{{citar livro|título=Análise de Fourier|ultimo=AZEVEDO, SAUTHER|primeiro=Fábio, Esequia|editora=|ano=2015|local=Porto Alegre|páginas=|acessodata=}}</ref>
<br />
*[[Módulo de Young]]
**[[Ensaio não destrutivo]]
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