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Teorema de Lagrange (teoria dos grupos): diferenças entre revisões

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O '''Teorema de Lagrange''', aplicado na [[teoria dos grupos]], é um teorema que diz que se <math>G</math> é um [[grupo finito]] e <math>H</math> é [[subgrupo]] de <math>G</math> então a [[Ordem (teoria dos grupos)|ordem]] (quantidade de elementos) de <math>H</math> divide a ordem de <math>G.</math>. Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do '''Teorema de Lagrange'''.
 
; '''Teorema 0.1'''
Se <math>\star</math> é uma [[relação de equivalência]] em <math>S</math> então <math>S=\bigcup[a]</math>, onde tal [[União (álgebra relacional)|união]] é sobre um elemento de cada classe e onde <math>[a]\neq[b]</math> implica <math>[a]\cap[b]=\emptyset</math>. Ou seja, <math>\star</math> particiona <math>S</math> em [[classes de equivalência]].▼
 
▲Se <math>\star</math> é uma [[relação de equivalência]] em <math>S</math> então <math>S=\bigcup[a],</math>, onde tal [[União (álgebra relacional)|união]] é sobre um elemento de cada classe e onde <math>[a]\neq[b]</math> implica <math>[a]\cap[b]=\emptyset.</math>. Ou seja, <math>\star</math> particiona <math>S</math> em [[classes de equivalência]].
; Demonstração▼
Seja <math>a\in S</math>. Note que <math>a\in[a]</math>. Portanto, é claro que <math>S=\underset{a\in S}{\bigcup} [a]</math>.▼
 
▲; '''Demonstração'''
Suponhamos que <math>[a]\cap[b]\neq\emptyset</math> e provemos que <math>[a]=[b]</math>.
▲Seja <math>a\in S.</math>. Note que <math>a\in[a].</math>. Portanto, é claro que <math>S=\underset{a\in S}{\bigcup} [a].</math>.
 
SejaSuponhamos que <math>c\in[a]\cap[b]\neq\emptyset</math> e provemos que <math>[a]=[b].</math>
 
EntãoSeja <math> c \star in[a </math> e <math>c]\star cap[b].</math>.
 
Então <math> c \star a </math> e <math>c\star b.</math>
 
Por um lado <math>\begin{cases} c \star a \Leftrightarrow a \star c \\ c \star b \end{cases} \Rightarrow a\star b \Rightarrow a \in [b]</math>
 
Por outro <math>\begin{cases} c \star a \\ c \star b \Leftrightarrow b \star c\end{cases} \Rightarrow b\star a \Rightarrow b \in [a].</math>.
 
Seja <math>x\in[a].</math>.
 
Então <math>x\star a.</math>.
 
Mas <math>a\star b,</math>, logo <math>x\star b</math> e assim <math>x\in[b].</math>.
 
Portanto <math>[a]\subset[b].</math>. Seja <math>y\in[b].</math>.
 
Então <math>y\star b.</math>. Mas <math>b\star a,</math>, logo <math>y\star a</math> e assim <math>y\in[a].</math>.
 
Portanto <math>[b]\subset[a].</math>.
 
E, dessa forma, <math>[a]=[b].</math>. <math>\Box</math>
 
== Demonstração do Teorema de Lagrange ==
Seja <math>\star</math> a relação de equivalência definida por <math>a\star b</math> se <math>ab^{-1}\in H.</math>.
 
Temos que <math>[a]=Ha=\{ha~|~h\in H\}.</math>.
 
Seja <math>k</math> o número de classes de distintas de <math>G</math> - chamemo-as de <math>Ha_1,\ldots,Ha_k.</math>.
 
Pelo '''Teorema 0.1''', <math>G=Ha_1\cup\ldots\cup Ha_k</math> e sabemos que <math>Ha_i\cap Ha_j=\emptyset,</math>, se <math>i\neq j.</math>.
 
Provemos que qualquer <math>Ha_i</math> possui <math>|H|</math> elementos.
 
Seja <math>\varphi:H\to Ha_i</math> uma função tal que <math>\psi(h)=ha_i,~\forall h \in H.</math>.
 
Provemos que <math>\varphi</math> é bijetora.
 
Note que <math>\varphi</math> é injetora pois <math>\varphi(h)=ha_i=h'a_i=\varphi(h')</math> implica <math>h=h'</math> e é sobrejetora pela definição de <math>Ha_i.</math>.
 
Potanto, <math>\varphi</math> é bijetora e, assim, <math>|Ha_i|=|H|.</math>.
 
Como <math>G=Ha_1\cup\ldots\cup Ha_k</math> e tais <math>Ha_i</math> são disjuntos com <math>|H|</math> elementos, teremos que <math>|G|=k|H|.</math>.
 
Portanto, <math>|H|</math> divide <math>|G|.</math>. <math>\Box</math>
 
== {{Ver também}} ==
{{correlatos|wikilivros=Álgebra abstrata/Permutação}}
 
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