Número ordinal: diferenças entre revisões

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Os ordinais finitos (e [[Número cardinal|cardinais]] finitos) são os números naturais: <math>0, 1, 2,\ldots</math>, já que quaisquer duas ordens de um conjunto finito são isomórficas de ordem. O menor ordinal infinito é o <math> \omega</math>, que é identificado com o número cardinal [[Aleph_null|<math>\aleph_0</math>]]. Entretanto, no caso transfinito, além de <math> \omega</math>, ordinais elaboram uma distinção mais refinada do que os cardinais na contagem de suas informações de ordem. Enquanto há somente um cardinal infinito contável, que é o [[Aleph_null|<math>\aleph_0</math>]], há incontáveis ordinais infinitos contáveis, que são:

<math>\omega^2,\ldots,\omega^3,\ldots,\omega^{\omega},\ldots,</math>

 

 

 

 

== Ordinais estendem os números naturais ==

Enquanto a noção de número cardinal é associada com um conjunto sem estrutura particular sobre ele, os ordinais são intimamente ligados com o tipo especial de conjuntos que são chamados de bem-ordenados (tão intimamente ligados, de fato, que alguns matemáticos não fazem qualquer distinção entre os dois conceitos). Um conjunto bem-ordenado é um conjunto totalmente ordenado (dado quaisquer dois elementos, define-se qual é o menor e o maior de forma coerente) tal que não haja sequência decrescente infinita (entretanto, pode haver sequências crescentes infinitas); isso quer dizer, todo subconjunto não vazio do conjunto tem um elemento mínimo. Ordinais podem ser usados para rotular os elementos de qualquer conjunto bem-ordenado (o menor elemento sendo rotulado como 0, o sucessor dele é 1, o próximo é 2, “etc”) e para medir a “extensão” de todo o conjunto pelo menos ordinal que não é rótulo de um elemento pertencente ao conjunto. Esta “extensão” é chamado o tipo de ordem do conjunto.

 

 

Até então nós mencionamos somente ordinais finitos, que são os números naturais. Mas há infinitos também: o menor infinito é ω, que é o tipo de ordem dos números naturais (ordinais finitos) e que pode ser identificado com o conjunto dos números naturais (de fato, o conjunto dos números naturais é bem-ordenado – como todo conjunto de ordinais – e como ele é fechado para baixo, pode ser identificado com o ordinal associado a ele, que é exatamente como definimos ω).

 

== Definições ==

 

Num conjunto bem-ordenado, todo subconjunto não-vazio tem um menor elemento. Dado o axioma da escolha dependente, isto é equivalente a dizer que o conjunto é totalmente ordenado e não há sequência infinita decrescente, algo talvez melhor de ser visualizado. Na prática, a importância da boa ordenação é justificada pela possibilidade de aplicações na indução transfinita, que diz, essencialmente, que qualquer propriedade que passar de um predecessor de um elemento para o próprio elemento deve ser verdade para todos os outros elementos (do dado conjunto bem-ordenado). Se os estados da computação (programa computacional ou jogo) podem ser bem ordenados de tal forma que cada passo é seguido por um passo “mais baixo”, então você pode ter certeza que a computação terminará.

 

=== Definição de um ordinal como uma classe de equivalência ===

 

A definição original de um número ordinal, encontrado no exemplo no Principia Mathematica, define o tipo de ordem de uma boa-ordenação como o conjunto de todas as boas ordenações similares (isomórficas de ordem) àquela boa ordenação: em outras palavras, um número ordinal é genuinamente uma classe de equivalência de conjuntos bem ordenados. Esta definição deve ser abandonada no ZF e sistemas relacionadas da teoria axiomática dos conjuntos porque estas classes de equivalência são muito grandes para formar um conjunto. Entretanto, esta definição pode ainda ser usada na teoria dos tipos e nas “Novas Fundações” da teoria dos conjuntos de Quine e sistemas relacionados (que sustentam uma solução alternativa um tanto surpreendente ao paradoxo de Burali-Forti do maior ordinal).

Um ordinal é finito se e somente se a a ordem oposta é também bem ordenada, que é o caso se e somente se cada um de seus subconjuntos tem um máximo.

 

 

Há outras formulações modernas da definição de ordinal. Por exemplo, assumindo o axioma de regularidade, é equivalente dizer para um conjunto x:

Estas definições não podem ser usadas nas teorias dos conjuntos “não-bem-fundados”. Nas teorias dos conjuntos com “urelementos”, temos que assim ter certeza que a definição não permite que os urelementos apareçam nos ordinais.

 

 

Se α é um ordinal limite e X é um conjunto, uma sequência α-indexada de elementos de X é uma função de α a X. Este conceito, uma sequência transfinita ou sequência ordinal-indexada, é uma generalização do conceito de uma sequência. Uma sequência comum corresponde ao caso α = ω.

 

 

=== O que é indução transfinita? ===

Isto é, se P(α) é verdade sempre que P(β) é verdade para todo β < α, então P(α) é verdade para todos α. Ou, mais praticamente: para fornecer uma propriedade P para todos os ordinais α, pode-se assumir que ela já é válida para todos os menores β < α.

 

 

Indução transfinita pode ser usada não somente para fornecer coisas, mas também para defini-las. Tal definição é normalmente chamada de recursão transfinita – a prova que o resultado é bem definido usa indução transfinita. Seja F uma função (classe) para ser definida sobre os ordinais. A ideia agora é que, na definição F(α) para um ordinal não-específico pode-se assumir que F(β) já está definido para todo β < α e assim fornecemos a fórmula para F(α) em termos destes F(β). Segue-se então por indução transfinita que há uma e somente uma função que satisfaça a fórmula recursiva até α e a inclua.

:defina a função F tal que F(α) seja o menor ordinal que não esteja na classe {F(β) | β < α}, isto é, a classe consistindo de todos os F(β) para β < α. Esta definição assume que F(β) é conhecido no próprio processo de definição de F; este ciclo aparentemente vicioso é exatamente o que a definição por recursão transfinita permite. De fato, F(0) faz sentido já que não há ordinal β < 0, e a classe {F(β) | β < 0} é vazia. Então F(0) é igual a 0 (o menor ordinal de todos). Agora que F(0) é conhecido, a definição aplicada a F(1) faz sentido (é o menor ordinal que não está na classe de um só elemento {F(0)} = {0}), e assim sucessivamente (este sucessivamente é exatamente a indução transfinita). Acontece que este exemplo não é muito empolgante, já que provavelmente F(α) = α para todos os ordinais α, que pode ser mostrado, precisamente, por indução transfinita.

 

 

Qualquer ordinal que não seja o zero tem um elemento mínimo, que é o zero. Pode ou por não ter um elemento máximo. Por exemplo, 42 tem máximo 41 e ω+6 tem um máximo ω+5. Por outro lado, ω não tem um elemento máximo já que não há um número natural que seja o maior de todos. Se um ordinal tem um máximo α, então há um próximo ordinal depois de α, e é chamado de ordinal sucessor, que chamaremos de sucessor de α, escrito como α+1. Na definição de von Neumann dos ordinais, o sucessor de α é α U { α } já que seus elementos são o que são elementos de α e o próprio α.

Há três operações básicas sobre os ordinais: adição, multiplicação e exponenciação. Cada uma pode ser definida de duas formas essencialmente diferentes: ou pela construção de um conjunto explicitamente bem ordenado que representa a operação ou por usar recursão transfinita. A forma normal de Cantor provê uma maneira padronizada de escrever os ordinais. As operações aritméticas chamadas “naturais” retém comutatividade às custas da continuidade.

 

 

=== Ordinal inicial de um cardinal ===

 

A cofinalidade de qualquer ordinal α é um ordinal regular, ou seja, a cofinalidade da cofinalidade de α é a mesma que a cofinalidade de α. Então a operação de cofinalidade é idempotente.

 

== Alguns ordinais contáveis “enormes” ==

Ordinais consideravelmente enormes podem ser definidos abaixo de <math>\omega_1^{\mathrm{CK}}</math>, que mede a “força da prova-teórica” de certos sistemas formais (por exemplo, ξ₀ define a força da aritmética de Peano). Ordinais grandes podem ser também definidos acima do ordinal de Church-Kleene, que são de interesse em vários tópicos da lógica.

 

 

Qualquer ordinal pode ser transformado em um espaço topológico de forma natural ao dotá-lo com uma topologia de ordem. Veja a sessão de [[topologia e ordinais]] do artigo “[[Topologia de Ordem]]”.

:O conjunto dos ordinais menores que 3 é 3 = {0, 1, 2}, o menor ordinal que não é menor do que 3.

 

A [[categorização|classificação]] de um elemento em um ordinal depende sempre do número de elementos que estão à sua frente. De modo que em concursos públicos ou demais disputas, quando há [[empate]] entre dois [[competição|competidores]] numa posição X, a classificação seguinte é considerada vazia. Por exemplo, num empate entre dois competidores na primeira colocação, o próximo competidor melhor colocado é considerado terceiro, ficando vago o [[segundo]] lugar.<ref>{{citação2|Os três grandes mestres participantes do 73º Campeonato Brasileiro Individual Absoluto chegam à última rodada empatados na liderança da prova, com 7 pontos e meio conquistados nas dez rodadas disputadas até aqui.(...) James, com 5, é o sexto, meio à frente de Fier - que tem hoje sua última noite como o campeão reinante. A oitava posição é dividida por Limp, Diamant e Diego Rafael Di Berardino (que hoje venceu Jefferson dos Santos Oliveira), todos com 3½. Pelikian, com 3 está em 11º e o representante local, Oliveira em 12º com 2.|[http://web.archive.org/web/*/http://www.hiperchess.com.br/eventos/2006/Brasileiro2006_C0.htm Hiperchess - Campeonato Brasileiro Individual Absoluto de Xadrez - 2006 (acessado em (26/04/2009)]}}</ref> Nem sempre, no entanto, esta regra é seguida, existindo algumas organizações que consideram que aquele que ficou com dois competidores à sua frente pode ser o segundo, caso os outros dois estejam empatados.

 

*[[Patrick Suppes|Suppes, P.]] (1960), ''Axiomatic Set Theory'', D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4

 

{{Wiktionary|ordinal}}

*{{MathWorld | urlname=OrdinalNumber| title=Ordinal Number}}

*[http://www.springerlink.com/content/n3797702v6422612/ Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre] Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897

*[http://mtnmath.com/ord/index.html Ordinal calculator] [[GNU General Public License|GPL'd]] free software for computing with ordinals and ordinal notations

 

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{{Teoria dos conjuntos}}

 

[[Categoria:Números]]

[[Categoria:Teoria da ordem|Numero ordinal]]