Geometria euclidiana: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m Foram revertidas as edições de 45.233.11.205 (usando Huggle) (3.4.9) |
Resolução do teorema de Pitágoras à La Euclides, proposição 47 do livro 1, Os Elementos. |
||
Linha 117:
Com o auxílio das proposições 27 e 29 a proposição acima foi provada. Até os dias atuais é utilizado
essas ferramentas para resolver problemas de geometria euclidiana.
* '''Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto. (Proposição 47)'''
Seja um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo BÂC é reto. Nos segmentos AB, BC e AC construir os quadrados ABFG, BDEC e ACHI, respectivamente (proposição 46). Do ponto A, trace uma paralela AL ao segmento BD (proposição 31). Trace os segmentos FC e AD. Por serem retos, os ângulos ABF e CBD são congruentes, junte a eles o ângulo ABC, então os ângulos CBF e ABD são congruentes (axioma 2). Pela proposição 4, os triângulos CBF e ABD são congruentes, pelo critério lado, ângulo e lado. Por estar na mesma base BD e entre as mesmas paralelas BD e AL, o paralelogramo BL possui o dobro da área do triângulo ABD (proposição 41). Por estar na mesma base FB e entre as mesmas paralelas FB e GC, o quadrado ABFG possui o dobro da área do triângulo CBF (proposição 41). Logo, pelo axioma 6, o quadrado ABFG possui a mesma área que o paralelogramo BL. Seguindo o mesmo raciocínio, traçando o segmento AE e HB, o quadrado ACHI possui a mesma área do paralelogramo CL.
Portanto, Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto.
Com o auxílio das proposições 46, 31, 4 e 41 e dos axiomas 2 e 6 ele provou essa proposição.
== O quinto postulado ==
| |||