Teorema de Nielsen–Schreier: diferenças entre revisões

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sem resumo de edição
(Nesta página há o enunciado do Teorema de Nielsen-Schreier, o enunciado e demonstração do Teorema de Schreier-Reidemeister e, finalmente, um exemplo que ilustra o uso deste último.)
 
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=== Conjuntos fechados por prefixos ===
Seja <math>F=F(X)</math> um grupo livre sobre o conjunto <math>X</math>. Um subconjunto <math>A</math> de <math>F(X)</math> será dito ''fechado por prefixos'' quando para toda palavra <math>w=a_{1}a_{2}\ldots a_{r}\in A</math>, <math>a_{i}\in X\cup X^{-1}</math>, reduzida como escrita, temos <math>a_{1}\ldots a_{r-1}\in A</math>. Note que um subconjunto fechado por prefixos necessariamente contém a palavra vazia <math>1</math>. (É verdade que o grupo livre é construído como o conjunto de classes de equivalência de palavras, mas é natural identificar uma classe com o único elemento em forma reduzida que contém.)
 
=== Transversais de Schreier ===
Seja <math>G</math> o grupo apresentado <math>\langle X\mid R\rangle</math>, isto é, <math>G=F(X)/\langle R\rangle^{F(X)}</math>, o subgrupo pelo qual estamos fatorando sendo o fecho normal do subgrupo gerado pelo conjunto <math>R\subset F(X)</math> de relatores. Seja <math>H</math> um subgrupo de <math>G</math> e seja <math>K</math> a pré-imagem de <math>H</math> em <math>F(X)</math>. Se <math>\theta:K\to F(W)</math> é um isomorfismo de <math>K</math> com o grupo livre sobre o conjunto <math>W</math> e se <math>T</math> é uma transversal ''qualquer'' de <math>W</math> em <math>F(X)</math>, então temos a apresentação <math>H\cong\langle W\mid S\rangle</math>, onde o conjunto <math>S</math> de relatores é <math>S=\big\{ (trt^{-1})^{\theta}\mid t\in T,r\in R\big\}</math>.
 
A demonstração é imediata pois temos a igualdade entre fechos normais <math>\langle R\rangle^{F}= \langle tRt^{-1}\mid t\in T\rangle^{HK}</math>.
 
É também imediato o seguinte
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