Teorema de Nielsen–Schreier: diferenças entre revisões

Seja <math>G=\langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3}\rangle</math> e <math>H=\langle x^{-1}y,yx^{-1}\rangle\le G</math>. Note que <math>G_{\mathrm{ab}}\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})</math>. Afirmo que <math>H</math> é um grupo Abeliano livre de posto <math>2</math>, isto é, <math>H\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}</math>. Primeiro, note que <math>H</math> é abeliano, pois <math>[x^{-1}y,yx^{-1}]=(xy)^{-3}=1</math>. Além disso,temos <math>[G:H]=3</math>, pois <math>H\cup (Hx)\cup (Hx^{2})=G</math> e essas classes são duas a duas disjuntasdistintas: caso não o fossem, teríamos <math>H=G</math>, -- um absurdo pois <math>H</math> normal em <math>G</math> nãoresultaria éno Abeliano.quociente cíclico de ordem <math>3</math>.

Seja <math>K</math> a imagem inversa de <math>H</math> em <math>F=F_{\{x,y\}}</math> (usar-se-á o mesmo símbolo para denotar um elemento de <math>F</math> e sua imagem em <math>G</math>; esperadamente, não haverá confusão). Temos a transversal de Schreier <math>\mathcal{S}=\{1,x,x^{2}\}\subset F</math> para <math>K</math>. Pelo Teorema de Nielsen-Schreier, <math>K\cong F_{\{a,b,c,d\}}</math> é livre de posto <math>4 = 2\cdot3-3+1</math>, com a associação <math>a\mapsto x^{3},b\mapsto yx^{-1},c\mapsto xyx^{-2},d\mapsto x^{2}y</math> (estendendo-se a) um isomorfismo cuja inversa será denotada por <math>\delta: H\to F_{\{a,b,c,d\}}</math>. Calculando, temos <math>(x^{3})^{\delta}=a</math>, <math>(y^{3})^{\delta}=\big((yx^{-1})(xyx^{-2})(x^{2}y)\big)^{\delta}=bcd</math>,<math>\big((xy)^{3}\big)^{\delta} = \big((xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1})(x^{2}y)\big)^{\delta}=cabd</math>,<math>(xy^{3}x^{-1})^{\delta}=\big((yx^{-1})^{x^{-1}}(xyx^{-2})^{x^{-1}}(x^{2}y)^{x^{-1}}\big)^{\delta}=(c)(da^{-1})(ab)=cdb</math>, <math>\big(x(xy)^{3}x^{-1}\big)^{\delta}=\big((x^{2}y)(xyx^{-2})(x^{3})(yx^{-1})\big)^{\delta}=dcab</math>, <math>\big(x^{2}y^{3}x^{-2}\big)^{\delta}=\big((x^{2}y)(yx^{-1})(xyx^{-2})\big)^{\delta}=dbc</math>, <math>\big(x^{2}(xy)^{3}x^{-2}\big)^{\delta}=\big(x^{3}(yx^{-1})(x^{2}y)(xyx^{-2})\big)^{\delta}=abdc</math>. Note que os elementos de <math>F_{\{a,b,c,d\}}</math> obtidos de comprimento <math>4</math> são permutações cíclicas uns dos outros, portanto são conjugados, logo constituem um conjunto de relatores redundantes, dos quais precisamos de apenas um; o mesmo vale para aqueles de comprimento <math>3</math>. O gerador <math>a</math> some. Temos daí que <math>H\cong\langle b,c,d\mid bcd,bdc\rangle</math>. Finalmente, <math>b\in\langle c,d\rangle</math> e <math>[c,d]=1</math>; agora é fácil estabelecer, por exemplo, via Teorema de Von Dyck, um isomorfismo <math>H\cong\langle c,d\mid \![c,d]\rangle\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}</math>. Isso prova a afirmação inicial.