Limite: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
→Exemplo 2: O sinal naquela inequação está trocado e deve ser corrigido. |
Etiquetas: Inserção do elemento "nowiki", possivelmente errônea Editor Visual |
||
Linha 11:
Seja <math>x_1, x_2, \ldots</math> uma [[Sequência (matemática)|sequência]] de [[número real|números reais]]. A expressão:
<math display="block"> \lim x_i = L</math>
significa que, para índices <math display="inline">i</math> suficientemente grandes<nowiki/>http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite?veaction=edit, os termos <math display="inline">x_i</math> da sequência estão arbitrariamente próximos do valor <math display="inline">L.</math> Neste caso, dizemos que ''o limite da sequência é '' <math display="inline">L.</math>
A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um ''desafio''. O desafiante propõe quão perto de <math display="inline">L</math> os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice <math display="inline">i</math>, os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de <math display="inline">L</math> quanto solicitado.
Linha 18:
Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim<ref name=":0">{{citar livro|título = Curso de Análise Vol.1|sobrenome = Lima|nome = Elon Lages|edição = 14|local = |editora = IMPA|ano = 2013|página = |isbn = 9788524401183}}</ref>:
<math display="block">\forall \epsilon >0,~\exists N\in\mathbb{N};\forall i\in\mathbb{N}\land~i\geq N \Rightarrow |x_i - L| < \epsilon
== Limite de uma função ==
Linha 36:
<math display="block">f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}</math>
à medida que <math display="inline">x</math> se aproxima de <math display="inline">2</math>, i.e busquemos calcular
<math display="block">\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2}\frac{x}{x^2 + 1}
Neste caso, <math display="inline">f(x)</math> está definida em <math display="inline">2</math> e é igual ao seu limite: <math display="inline">0,\!4,</math> vejamos:
Linha 46:
À medida que <math display="inline">x</math> aproxima-se de <math display="inline">2</math>, <math display="inline">f(x)</math> aproxima-se de <math display="inline">0,\!4</math> e consequentemente temos
<math display="block">\lim_{x\to 2}f(x)=0,\!4
Ou seja, <math display="inline">f(x)</math> é contínua no ponto <math display="inline">2</math>.
Linha 58:
<math display="block"> h(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} </math>
Apesar de <math display="inline">h(x)</math> não estar definida em <math display="inline">x=1</math>, pode-se demonstrar (por exemplo, via [[regra de l'Hôpital]]) que
<math display="block">\lim_{x\to 1} h(x) = 2
{| class="wikitable"
Linha 66:
|}
Observa-se que <math display="inline">x</math> pode ser tomado tão próximo de <math display="inline">1</math> quanto quisermos, sem no entanto ser igual a <math display="inline">1</math>, donde infere-se que o limite de <math display="inline">f(x)</math> é <math display="inline">2</math>.<ref name="Stewart, James 2009, pg. 98">Stewart, James. Cálculo vol. I. ISBN 978-85-221-0660-8. Ed. Cengage, 2009, pg. 98.</ref>
=== Definição formal===
Linha 74:
quando para qualquer que seja <math> \varepsilon>0</math> existe um <math> \delta>0</math> tal que para todo <math> x \in I,</math> satisfazendo <math>0<|x-a|< \delta,</math> vale <math>| f (x)-A|< \varepsilon</math><ref name=":0" />. Ou, usando a [[Notação matemática|notação simbólica]]:
===
==== Exemplo 1 ====
| |||