Monomorfismo (teoria das categorias): diferenças entre revisões
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Monomorfismo não injetivo (grupos abelianos divisíveis) |
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Um '''monomorfismo''' (ou '''mono'''), no contexto de [[teoria das categorias]], é uma generalização do conceito de [[função injetiva]]. Uma seta <math>h:a\rightarrow b</math> numa [[categoria (teoria das categorias)|categoria]] <math>C</math> é um monomorfismo se e somente se <math>h\circ g=h\circ f</math> implica <math>g=f</math> sempre que <math>g, f : c \to a</math> são setas e <math>c</math> é objeto de <math>C</math>. Ou seja, uma seta é mono se ela pode ser cancelada à esquerda de uma composição.
A noção dual
Se {{math|<var>g</var> ∘ <var>f</var> {{=}} 1<sub><var>c</var></sub>}} para algumas setas {{math|<var>f</var> : <var>c</var> → <var>d</var>}} e {{math|<var>g</var> : <var>d</var> → <var>c</var>}}, {{math|<var>f</var>}} é chamada '''inversa à direita''' ou '''seção''' e {{math|<var>g</var>}} é chamada '''inversa à esquerda''' ou '''retração'''. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.<ref name=maclaneMon>{{harv | Mac Lane | loc=§I.5}}</ref>
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==Exemplos==
* Na categoria dos conjuntos, dos [[espaço topológico|espaços topológicos]] (e funções contínuas), dos [[grupo (matemática)|grupo]]s (e homomorfismos de grupos), monomorfismos são exatamente os mapeamentos injetivos.<ref name=maclaneMon /><ref>{{citar web | url=https://ncatlab.org/nlab/show/Top#MonoEpiMorphisms |titulo=Top – ''n''Lab |acessodata=20 de fevereiro de 2020}}</ref>
* Na categoria de [[grupo abeliano divisível|grupos abelianos divisíveis]] (isto é, um [[grupo abeliano]] {{math|<var>G</var>}} satisfazendo {{math|<var>G</var> {{=}} <var>n</var> ⋅ <var>G</var>}} para cada {{math|<var>n</var>}} inteiro positivo), a projeção {{math|ℚ → ℚ/ℤ}} é um monomorfismo que não é injetivo.<ref name=accDef>{{harv | Adámek, Herrlich, Strecker | loc=§II.7.33}}</ref>
==Subobjetos==
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== Bibliografia ==
* {{citar livro |ultimo1=ADÁMEK |primeiro1=Jiří |ultimo2=HERRLICH |primeiro2=Horst |ultimo3=STRECKER |primeiro3=George E. |data=2004 |titulo=Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats |url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc}}
* ASPERTI, Longo. ''Categories, Types, and Structures''. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London.
* BARR, Michael; WELLS, Charles. ''Category Theory for Computing Science'', Prentice Hall, London, UK, 1990.
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