Diferenças entre edições de "Teorema de Liouville"

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Teorema de Liouville
Se f(z) é inteira e |f(z)| é limitado para todo o z pertencente a C. Então f(z) é constante.
 
Demonstração:
 
Suponhamos que f(z) é inteira, e que |f(z)|≤ M para todo o z pertencente a C.
Como f(z) é inteira então é analítica em C.
Logo pelo [[[Teorema da Majoração de Cauchy]]] temos que, numa bola de raio r centrada na origem |f'(z)|< M/r.
Novamente, como f(z) é inteira, pode ser representada pela sua série de Taylor convergente e o seu raio de convergência
 
é +∞, logo podemos ter r →∞. Assim, |f'(z)|=0 donde f'(z)=0. Logo f(z) é constante.
Novamente, como f(z) é inteira, pode ser representada pela sua série de Taylor convergente e o seu raio de convergência
é +∞, logo podemos ter r →∞. Assim, |f'(z)|=0 donde f'(z)=0. Logo f(z) é constante.
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