Diferenças entre edições de "Teorema de Liouville"

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O '''teorema de Liouville''' é um [[teorema]] de [[análise complexa]] que diz que uma função [[números complexos|complexa]] [[função inteira|inteira]] e [[função limitada|limitada]] é [[função constante|constante]]. Este teorema permite demonstrar o [[teorema fundamental da álgebra]] de formamaneira bastante elementar simples.
 
== Demonstrações ==
 
=== Primeira demonstração ===
Seja ''z'' ∈ '''C'''. Para cada ''r'' > |''z''|, tem-se, pelaspela [[desigualdades de Cauchy|desigualdade de Cauchy]] (com ''n'' = 1), |''f′''(''z'')| < ''M''/''r''. Mas então
:<math>|f'(z)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math>
Logo, ''f&prime;''(''z'')&nbsp;=&nbsp;0. Como isto acontece para cada ''z''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''', ''f'' é constante.
Sejam ''z'' e ''w'' números complexos e seja ''r'' um número real tal que |''z''|,|''w''|&nbsp;&le;&nbsp;''r''. Seja
:<math>\begin{array}{rccc}\gamma(r)\colon&[0,2\pi]&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&t&\mapsto&re^{it}.\end{array}</math>
Então, pela [[fórmula integral de Cauchy]]:, vale o seguinte
:<math>f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du</math> e <math>f(w)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-w}du</math>
pelo que
 
== Corolário ==
O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante ''f'' não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um [[conjunto denso]]. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de ''f'' não era densa. Então haveria algum número complexo ''w'' e algum ''r''&nbsp;&gt;&nbsp;0 tal que a imagem de ''f'' não conteria nenhum elemento do disco de raio ''r'' centrado em ''w''. Mas então sedefinimos se definisse
:<math>\begin{array}{rccc}g\colon&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&z&\mapsto&\frac1{w-f(z)},\end{array}</math>
a função ''g'' seria inteira não constante e, para cada ''z''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''' ter-se-ia
:<math>|g(z)|=\left|\frac1{w-f(z)}\right|=\frac1{|w-f(z)|}<\frac1r,</math>
pelo que ''g'' seriae limitada, o quecontradizendo contradiz o teorema de Liouville.
 
==Generalizações==
Utilizador anónimo