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Fórmula de haversine: diferenças entre revisões

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A tradução usou o termo "esfera triangular", que é inacurado. Um termo melhor seria "triângulo contido numa superfície esférica"
Usa Latex e faz uma formulação parecida com a versão em inglês da Wikipedia.
Linha 1:
{{Revisão|data=Fevereiro de 2008}}
<br />{{Trigonometria}}
A '''fórmula de Haversinehaversine''' é uma importante equação usada em navegação, fornecendo distâncias entre dois pontos de uma [[esfera]] a partir de suas [[Latitude|latitudes]] e [[Longitude|longitudes]]. É um caso especial de uma fórmula mais geral de [[trigonometria esférica]], a '''lei dos Haversineshaversines''', relacionandoque relaciona os lados ae ângulos de um triângulo contido numaem uma superfície esférica.
 
O nome ''haversine'' foi criado em 1835 pelo matemático e astrônomo James Inman. Estes nomes se devem ao fato de que são escritos nos termos da [[Haversine|função haversine]], dado por {{math|hav(''θ'') {{=}} sen<sup>2</sup>({{sfrac|''θ''|2}})}}. As fórmulas podem ser igualmente escritas em termos de qualquer múltiplo do haversine, como a antiga função [[versine]] (duas vezes o haversine). Antes do uso de computadores, a eliminação da divisão e multiplicação por fatores de dois se provou suficientemente conveniente que tabelas de valores do haversine e logaritmos foram incluídos no século 19 e começo do século 20 em livros de navegação e trigonometria. Atualmente a fórmula de haversine é também conveniente pelo fato de não ter coeficiente na frente da função {{math|sen<sup>2</sup>}}.
Estes nomes se devem ao fato de que são escritos nos termos da função [[haversine]] , dado por um
haversin(θ) = seno²(θ/2). (As fórmulas podem ser também escritas em termos de um múltiplo do Haversine, como função anterior [[versine]] (duas vezes o Haversine). Historicamente o Haversine tem talvez a ligeira vantagem de seu máximo ser um, então tabelas logarítmicas de seus valores terminam em zero.
Hoje a fórmula de Haversine é também conveniente pelo fato de não ter coeficiente da função seno²
 
== A fórmula de HaversineFormulação ==
Definido o [[ângulo central]] {{math|Θ}} entre dois pontos quaisquer de uma esfera ser:
Dois pontos de uma esfera (de raio ''R'') com latitudes φ<sub>1</sub> e φ<sub>2</sub>, separação de latitude Δφ = φ<sub>1</sub> − φ<sub>2</sub>, e separação de longitude Δλ, onde os ângulos são em radianos, a distância ''d'' entre dois pontos (entre um círculo maior) da esfera) é relacionada as suas localizações pela fórmula :
 
: <math>\Theta = \frac{d}{r}</math>
<div class="floatright">''(a fórmula de Haversine)''</div>
:<math>\operatorname{haversin}\left(\frac{d}{R}\right) = \operatorname{haversin}(\Delta\phi) + \cos(\phi_1) \cos(\phi_2) \ \operatorname{haversin}(\Delta\lambda)</math>
 
onde:
Onde ''h'' denota Haversine (''d''/''R''), dado acima. Podemos obter ''d'' tanto pela simples aplicação da Haversine inversa, quanto pelo uso do função arcosseno (inverso do seno).
 
* {{math|''d''}} é a distância entre os dois pontos ao longo de um [[Círculo máximo|circulo máximo]] da esfera (veja [[Ortodromia]]),
:<math>d = R \, \operatorname{haversin}^{-1}(h) = 2 R \arcsin\left(\sqrt{h}\,\right)</math>▼
* {{math|''r''}} é o raio da esfera.
 
A fórmula de haversine permite que o haversine de {{math|Θ}} (ou seja, o {{math|hav(Θ)}}) seja calculado direto pela latitude e longitude dos dois pontos:
Antes da era do computador, o uso de detalhadas tabelas impressas do haversine/inversa-haversine e de seus logaritmos (auxiliando as multiplicações) salvou navegadores de elevar senos ao quadrado, calcular raízes quadradas etc , um processo tanto árduo quanto factível de aumentar pequenos erros.
 
: <math>
Quando usamos estas fórmulas, devemos ter cuidado de assegurar que ''h'' não seja maior que 1. ''h'' só se aproxima de 1 pelo ponto ''antipodal'' (o lado oposto da esfera) )—nesta região um número relativo grande de erros tende a ocorrer na fórmula quando uma precisão finita é usada.Entretanto , como ''d'' e maior que (aproximando-se de π''R'', metade da circunferência) pequenos erros não causam preocupação num uso comum (A fórmula acima é algumas vezes escrita em termos da função arcotangente, mas sofre problemas similares quando fica próxima de ''h'' = 1).▼
\operatorname{hav}\left(\Theta\right) =
\operatorname{hav}\left(\varphi_2 - \varphi_1\right) + \cos\left(\varphi_1\right)\cos\left(\varphi_2\right)\operatorname{hav}\left(\lambda_2 - \lambda_1\right)
</math>
 
onde:
Como descrita anteriormente uma fórmula similar pode ser escrita em termos de co-senos (algumas vezes chamada de lei esférica dos co-senos, não confundir com a lei dos co-senos da geometria plana) ao invés de▼
haversines, mas sofre problemas de precisão para casos comuns de pequenas distâncias e ângulos o que reduz seu uso seriamente.
 
* {{math|''φ''<sub>1</sub>}}, {{math|''φ''<sub>2</sub>}} são a latitude do ponto 1 e a latitude do ponto 2 (em radianos),
Esta fórmula é só uma aproximação quando aplicada à [[Terra]], porque esta não é uma esfera perfeita: seu raio varia de 6356,78&nbsp;km nos pólos até 6378,14&nbsp;km no equador. Estas pequenas correções, na ordem de 0,1% (supondo ''R'' = 6367,45&nbsp;km) são usadas em todo lugar, devido a leve forma elipsoide do nosso planeta.▼
* {{math|''λ''<sub>1</sub>}}, {{math|''λ''<sub>2</sub>}} são a longitude do ponto 1 e longitude do ponto 2 (em radianos).
 
Finalmente, a função haversine {{math|hav(Θ)}}, aplicada acima para ambos o ângulo central {{math|Θ}} e a diferenças na latitude e longitude é:
 
: <math>\operatorname{hav}(\theta) = \sen^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2}</math>
 
A função haversine computa metade da versine do ângulo {{math|''θ''}}.
 
Para resolver pela distância {{math|''d''}}, aplica-se o arc versine (haversine inverso) para {{math|''h'' {{=}} hav(Θ)}} ou usa-se a função [[Funções trigonométricas inversas|arco seno]] (inverso do seno):
 
▲: <math>d = R \, r\operatorname{haversin}^{-1archav}(h) = 2 R 2r\arcsin\left(\sqrt{h}\,\right)</math>
 
▲Quando usamos estas fórmulas, devemos ter cuidado de assegurar que {{math|''h''}} não seja maior que 1. ''{{math|''h''}}'' só se aproxima de 1 pelo ponto ''antipodal'' (oem ladolados opostoopostos da esfera) )—nesta região um número relativorelativamente grande de erros tende a ocorrer na fórmula quando uma precisão finita é usada.Entretanto , comoComo {{math|''d''}} eé maior que (aproximando-se de {{math|π''R''}}, metade da circunferência) pequenosum errospequeno erro não causamcausa preocupação numnesse usocaso comumnão usual (embora existam outras formulas da [[Ortodromia|distância]] do [[Círculo máximo]] que evitam esse problema). A fórmula acima é algumas vezes escrita em termos da função arcotangente[[Funções trigonométricas inversas|arco tangente]], mas sofre problemas similares quando fica próxima de {{math|''h'' {{=}} 1)}}.
 
▲Como descritadescrito anteriormenteabaixo, uma fórmula similar pode ser escrita em termos de co-senoscossenos (algumas vezes chamada de lei esférica dos co-senoscossenos, não confundir com a lei dos co-senoscossenos da geometria plana) ao invés de haversines, mas sofre problemas de precisão para casos comuns de pequenas distâncias e ângulos o que reduz seu uso seriamente. Como a formula do haversine usa senos, ela evita esse problema.
 
▲Esta fórmula é só uma aproximação quando aplicada à [[Terra]], porque esta não é uma esfera perfeita: [[Raio da Terra|seu raio]] varia de 6356,78752&nbsp;km nos pólos até 6378,14137&nbsp;km no equador. EstasO pequenas[[raio correções,de curvatura]] de uma linha norte-sul na ordemsuperfície deda terra é 0,1% (supondomaior ''R''nos =polos 6367(≈6399,45594&nbsp;km) sãoque usadasno emequador todo(≈6335.439&nbsp;km)&#x2014;então lugar,a devidofórmula ade levehaversine formae elipsoidelei dodos nossocossenos planetanão podem se garantir corretas a melhor que 0,5%.
 
== A lei dos Haversines ==
Dada uma esfera unitária, um a "triângulo" em sua superfície é definido pelo maior[[Círculo círculomáximo]] conectando três pontos '{{math|''u'''}}, '{{math|''v'''}}, and '{{math|''w'''}} na esfera. Se o comprimento destedestes três lados forem are {{math|''a''}} (de '{{math|''u'''}} até '{{math|''v'''}}), {{math|''b''}} (de '{{math|''u'''}} até '{{math|''w'''}}), eand {{math|''c''}} (de '{{math|''v'''}} até '{{math|''w'''}}), e o ângulo do canto oposto {{math|''c''}} é {{math|''C'' }}, então a lei dos haversines estabelece que :
 
<div class="floatright">''(the law of haversines)''</div>
:<math>\operatorname{haversinhav}(c) = \operatorname{haversinhav}(a - b) + \sinsen(a) \sinsen(b) \, \operatorname{haversinhav}(C)</math>
 
DesdeSendo que é uma esfera únicaunitária, os comprimentos de {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, e {{math|''c''}} são simplesmente iguais aos ângulos (em radianos) subentendidos por estes lados do centro da esfera (para esferasuma esfera não únicasunitária, sãocada asum distânciasdesses divididascomprimentos de arco é igual ao seu [[ângulo central]] multiplicado pelo raio {{math|''R''}} da esfera).
[[Ficheiro:Law-of-haversines.png|right|thumb|SphericalTriângulo triangleesférico solvedresolvido bypela thelei law ofdos haversines.]]
 
Para se obter oa fórmula haversine da secçãoseção previa da suadessa lei, consideramos um caso especial quando '{{math|''u'''}} é o Pólopólo Norte Geográficonorte geográfico, enquanto '{{math|''v'''}} e '{{math|''w'''}} são dois pontos em que a separação {{math|''d''}} seé querpara se determinar. Neste caso, {{math|''a''}} e {{math|''b''}} são {{math|{{sfrac|π|2}} − ''φ''<sub>1,2</sub>}} (ou seja, as co-latitudes), {{math|''C''}} é separação de longitude {{math|''λ''<sub>2</sub> − ''λ''<sub>1</sub>}}, e {{math|''c''}} é o {{math|{{sfrac|''d''|''R''}}}} desejado. Nota-se que {{math|sin({{sfrac|π|2}} − ''φ'') {{=}} cos(''φ'')}}, a fórmula de haversine segue imediatamente.
''a'' e ''b'' são π/2 - φ<sub>1,2</sub> (i.e., 90&º;− latitude), ''C'' é separação de longitude Δλ,e ''c'' é o desejado ''d''/''R''.Nada que seno(π/2 - φ) = cos(φ),a fórmula haversine imediatamente não forneça.
 
Para obterderivar a lei dos Haversineshaversines, devemos começar com a lei esférica dos co-senos cossenos:
 
<div class="floatright">''(spherical law of cosines)''</div>
:<math>\cos(c) = \cos(a) \cos(b) + \sinsen(a) \sinsen(b) \cos(C) \,</math>
 
Como mencionado acima, esta fórmula é uma forma contra-indicada para resolver para {{math|''c''}} quando este{{math|''c''}} é pequeno. SubstituímosEm vez disso, substituímos a igualdade que {{math|cos(''θ'') {{=}} 1 −2− 2 haversinhav(''θ'')}}, e também empregamos a igualdade trigonométrica adição e subtração {{math|cos(''a''&nbsp; −&nbsp; ''b'') {{=}} cos(''a'')&nbsp; cos(''b'')&nbsp; +&nbsp;sin sen(''a'')&nbsp; sen(''b'')}} para obter a lei dos haversines acima.
 
== Referências gerais ==
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* {{Link|en|2=http://www.movable-type.co.uk/scripts/LatLong.html |3=JavaScript implementation}} of Haversine formula to find distance between two latitude/longitude points
* {{Link|en|2=http://scifunam.fisica.unam.mx/mir/codes.html#haversine |3=Pascal implementação}} da formula de Haversine para estimar a distancia entre dois pontos com latitudes e longitudes
*[https://sourceforge.net/projects/haversine/] Implementaçao em Lazarus/Free Pascal da fórmula de Haversine. Trata-se de um demo simples e código aberto.
 
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Obtida de "https://pt.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_haversine"