Força conservativa: diferenças entre revisões
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1 Visão geral 1.1 Independência da trajetória de forças conservativas 2 Descrição matemática 2.1 Prova de que estas três condições são equivalentes quando F é um campo de força. Etiquetas: Inserção de predefinição obsoleta Editor Visual: Trocado |
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{{Mecânica Clássica|Trabalho e Mecânica}}
Uma [[força]] é dita '''conservativa''' quando o [[Trabalho (física)|trabalho]] que ela realiza para mover uma partícula entre dois pontos é
Num sentido mais geral, uma força é conservativa se, e somente se, pode ser expressa como o [[gradiente]] de uma função escalar, chamada de [[energia potencial]]. O termo ''conservativa'' vem do fato de que, em um sistema isolado no qual apenas forças conservativas atuam sobre os objetos, mesmo que haja variação da [[energia cinética]] e da energia potencial, há a conservação da [[energia mecânica]] E<sub>mec</sub> do sistema.
As forças conservativas mais conhecidas são a [[Força gravitacional|gravitacional]], a [[Lei de Hooke|elástica]] e a [[Força elétrica|eletrostática]] entre duas cargas.<ref>Nussenzveig, H. Moysés. ''Curso de Física Básica, 1: Mecânica''. – 5 ed., São Paulo: Blucher, 2013. ISBN 9788521207450</ref> Esta última, por ser uma [[força central]], é conservativa se, e somente se, ela é esfericamente simétrica.<ref name=":1">Taylor, John R. (2013). ''Mecânica clássica''. Tradução: Waldir Leite Roque. Porto Alegre: Bookman. [[International Standard Book Number|ISBN]] [[Especial:Fontes%20de%20livros/9788582600887|9788582600887]]</ref>
Exemplos de forças não-conservativas são: o [[arrasto]] (que depende da [[velocidade]]), o [[atrito]] (que depende da direção do movimento), a [[força magnética]] (que depende da velocidade) e a força de um campo elétrico dependente do tempo.<ref name=":1" />
== Visão geral ==
Informalmente, uma
A
▲Informalmente, uma '''força conservativa''' pode ser considerada uma força que conserva [[energia mecânica]]. Em um sistema isolado, se todas as forças são forças conservativas, a energia mecânica do sistema é conservada. Aqui, a energia mecânica se refere à soma da energia cinética e da energia potencial.<ref name=":0" />
▲A [[força gravitacional]], a [[força elástica]], a força magnética (de acordo com algumas definições, veja abaixo) e a [[força elétrica]] (pelo menos em um campo magnético independente do tempo, veja a lei de indução de Faraday para detalhes) são exemplos de forças conservativas, enquanto [[atrito]] e [[arrasto]] são exemplos clássicos de forças não-conservativas. Para forças não-conservativas, a energia mecânica que é perdida (não conservada) e transformada em outra forma de energia, geralmente [[energia térmica|térmica]]. Essas e outras perdas de energia são irreversíveis de acordo com a [[segunda lei da termodinâmica]].
=== Independência da trajetória de forças conservativas ===
[[Imagem:Conservative Force Gravity Example.svg|thumb|upright|direita|O trabalho exercido pela
Há um teste para determinar se uma força é conservativa ou dissipativa: deixa-se a força atuar sobre uma partícula movendo-se ao longo de um percurso fechado (que começa e termina no mesmo ponto). Se é nulo o trabalho total realizado sobre a partícula,
▲[[Imagem:Conservative Force Gravity Example.svg|thumb|upright|direita|O trabalho exercido pela [[força gravitacional]] em um objeto depende somente da mudança de sua altura pois essa força é conservativa.]]
▲Há um teste para determinar se uma força é conservativa ou dissipativa: deixa-se a força atuar sobre uma partícula movendo-se ao longo de um percurso fechado (que começa e termina no mesmo ponto). Se é nulo o trabalho total realizado sobre a partícula, durante esse ou qualquer outro percurso fechado, a força é conservativa.<ref name=":0" />
Uma consequência importante desse teste é a seguinte: o trabalho realizado por uma força conservativa em uma partícula que se move entre quaisquer dois pontos não depende de sua trajetória. Assim, se todas as forças que agem sobre a partícula são conservativas, o trabalho realizado sobre a partícula é o mesmo para as duas trajetórias. Esse resultado é importante porque permite simplificar problemas difíceis quando apenas uma força conservativa está envolvida.
O trabalho realizado por uma força conservativa equivale ao negativo da variação da
Por exemplo, se uma criança desliza para baixo em um [[escorregador]] sem atrito, o trabalho realizado pela força gravitacional na criança do início ao fim do escorregador é independente do formato do escorregador; depende apenas do deslocamento vertical da criança.
== Descrição matemática ==
{{sem-fontes|Esta seção|data=setembro de 2020}}
Um [[campo de força]] ''F'' é considerado
*O campo é definido em uma área simplesmente conectada e cumpre a condição de integrabilidade, o que significa que o [[rotacional]] de ''F'' é o vetor zero:
:<math>\vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{0}. \,</math>
* A soma do
:<math>W \equiv \oint_C \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec r = 0.\,</math>
* A força pode ser descrita como o
:<math>\vec{F} = -\vec{\nabla} \Phi. \,</math>
[[Ficheiro:Konservative Kraft Wege.svg|miniaturadaimagem|Quaisquer dois caminhos em um campo de força conservativa.]]
===Prova de que estas três condições são equivalentes quando ''F'' é um
Existem três critérios equivalentes para determinar se um campo é conservativo. O primeiro critério é acerca da definição de um campo de forças conservativo; os outros são outras formulações do primeiro critério. Muitas vezes o campo de força está definido de uma forma "direta" através do segundo critério. Assim, se tem que o trabalho em um campo conservativo é independente do percurso.
Seja ''C'' qualquer caminho fechado simples e considere uma superfície A da qual C é o limite. Então a [[integral]] sobre esse caminho será:
:<math> \int_A \left(\vec{\nabla} \times \vec{F}\right) \cdot \mathrm{d}\vec{a} = \oint_C \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r} </math>
Se
Suponha que a afirmação 2 seja válida. Seja ''c'' uma curva simples da origem até um ponto <math>x</math> e defina uma [[Função (matemática)|função]]
:<math>\Phi(x) = -\int_c \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}.</math>
O fato de essa função ser bem definida (independente da escolha de ''c'') decorre da afirmação 2. De qualquer forma, do [[teorema fundamental do cálculo]], segue-se que:
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Portanto, a afirmação 2 implica a afirmação 3 (ver [[gradiente]]).
Finalmente, suponha que a terceira afirmação seja verdadeira. Uma identidade de [[cálculo vetorial]] bem conhecida afirma que o rotacional do gradiente de qualquer função é 0 ([[Identidades_do_cálculo_vetorial#Rotacional|ver mais]]). Portanto, se a terceira afirmação for verdadeira, então a primeira declaração deve ser verdadeira também.
Isso mostra que a afirmação 1 implica 2, 2 implica 3 e 3 implica 1. Portanto,
Muitas forças (particularmente aquelas que dependem da velocidade) não são conservativas, pois as três condições citadas acima não são matematicamente equivalentes. Por exemplo, a
== Teorema do trabalho e energia potencial ==
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<math>U = - \int\limits_{S_{ref}}^{S}F_t d_s</math>
A posição ''S<sub>ref</sub>'' é a posição de um ponto qualquer escolhido como referência. Para que a força seja realmente uma função da posição é necessário que sempre que a partícula se encontrar num ponto da sua trajetória, a força nesse ponto seja sempre igual, ou seja, que ela seja uma
A primitiva ''U(s)'' da força conservativa, definida pela equação acima, é designada por
A força resultante pode, em geral, incluir forças conservativas e não conservativas. O trabalho da força resultante é igual ao aumento de energia cinética, e pode ser calculado como o trabalho feito pela soma de todas as forças conservativas, mais o trabalho das forças não conservativas:
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O trabalho das forças conservativas é igual à diminuição da energia potencial e o trabalho total é igual ao aumento da energia cinética. Assim, temos:
<math>E_{c2}- E_{c1} = U_1 - U_2 + W_{1,2}</math> (
Em que
Define-se a
<math>E_m = E_c + U</math>
Em função da energia mecânica, a equação acima fica:
<math>E_{m2} - E_{m1} = W_{1,2}</math> (
Assim, o teorema do trabalho e a energia mecânica demonstra que:''O aumento da energia mecânica
Uma consequência desse resultado é a
== Gráficos de energia ==
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<math>U(x) = - \int\{F_x(x')dx'</math>
onde ''Fx'' é a componente x da força resultante sobre a partícula.
O gráfico da energia potencial associada a uma força conservativa é muito útil na análise do movimento. A figura a seguir mostra um exemplo; a curva representa a energia potencial total do sistema, em função da distância ao longo da trajetória, ''s''.<ref name=Villate/>
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A segunda propriedade importante é que a partícula nunca poderá estar numa posição onde a energia mecânica <math>E_m</math> seja menor que a energia potencial, já que <math>E_m - U</math> é igual à energia cinética, que é sempre positiva ou nula. Aplicando essas propriedades ao exemplo no gráfico, vemos que nos intervalos <math><math>2<s<-1</math> e <math>2<s<5</math> o valor da força tangencial é positivo, isto é aponta no sentido em que a posição ''s'' aumenta. <ref name=Villate/>
Nos intervalos <math>1<s<2</math> e <math>5<s<6</math>, o valor da força é negativo (aponta no sentido em que ''s'' diminui). Nos pontos
<math>E_m\ge U(x)</math>
Assim, a partícula não poderia estar na posição
Nos pontos em que a reta horizontal (energia mecânica da partícula) corta a curva da energia potencial, a energia cinética será nula e, portanto, a partícula estará em repouso; no entanto a partícula não permanece em repouso por muito tempo, porque a força nesses pontos não é nula.<ref name=Villate/> Por exemplo, se num instante a partícula estiver na posição '''s = 5''', deslocando-se no sentido em que s aumenta, deslocar-se-á até um ponto perto de '''s = 6''' onde a partícula para; nesse ponto a força aponta no sentido negativo da distância, o que faz com que a partícula regresse para o ponto '''s = 5''', mas agora com velocidade no sentido negativo da distância. A partícula aproximar-se-á do ponto '''s = 3:8''', onde a sua velocidade será nula; nesse ponto, sendo a força no sentido positivo da distância, a partícula regressará à posição''' s = 5''' e o ciclo será repetido novamente.▼
▲Nos pontos em que a reta horizontal (energia mecânica da partícula) corta a curva da energia potencial, a energia cinética será nula e, portanto, a partícula estará em repouso; no entanto a partícula não permanece em repouso por muito tempo, porque a força nesses pontos não é nula.<ref name=Villate/> Por exemplo, se num instante a partícula estiver na posição
== Energia potencial gravitacional ==
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*[[Energia potencial]]
{{Referências
{{Portal3|Ciência|Física}}
{{Controle de autoridade}}
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