Método das secantes: diferenças entre revisões
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Em [[análise numérica]], o '''método das secantes''' é um algoritmo de busca de raízes que usa uma sequência de [[Raiz (matemática)|raízes]] de [[Reta secante|linhas secantes]] para aproximar cada vez melhor a raiz de uma [[função (matemática)|função]] ''f''.
O método da secante pode ser pensado como uma aproximação por [[diferenças finitas]] do [[método de Newton]]. No entanto, foi desenvolvido independentemente do método de Newton, e antecedeu-o por mais de 3.000 anos.<ref>{{Citation |último =Papakonstantinou |primeiro =J. |título=The Historical Development of the Secant Method in 1-D |url=http://citation.allacademic.com/meta/p_mla_apa_research_citation/2/0/0/0/4/p200044_index.html |acessodata= 3 de novembro de 2014}}</ref>▼
▲O método da secante pode ser pensado como uma aproximação por [[diferenças finitas]] do [[método de Newton]]. No entanto, foi desenvolvido independentemente do método de Newton, e antecedeu-o por mais de 3.000 anos.<ref name=":0">{{Citation |último =Papakonstantinou |primeiro =J. |título=The Historical Development of the Secant Method in 1-D |url=http://citation.allacademic.com/meta/p_mla_apa_research_citation/2/0/0/0/4/p200044_index.html |acessodata= 3 de novembro de 2014}}</ref>
==O método==▼
[[Ficheiro:Secant method.svg|thumb|300px|As duas primeiras iterações do método das secantes. A curva vermelha mostra a função ''f'' e as linhas azuis são as secantes.]]▼
▲== O método ==
▲[[
O método das secantes é definido pela [[relação de recorrência]]
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Como pode ser visto da relação de recorrência, o método das secantes requer dois valores iniciais, ''x<sub>0</sub>'' e ''x<sub>1</sub>'', que devem ser preferencialmente escolhidos próximos da raiz.
== Dedução do método ==
Dados ''x<sub>n−1</sub>'' e ''x<sub>n</sub>'', construímos uma reta passando pelos pontos (''x<sub>n−1</sub>'', ''f(x<sub>n−1</sub>)'') e (''x<sub>n</sub>'', ''f(x<sub>n</sub>)''), como ilustrado na figura à direita. Note que essa reta é uma secante ou corda do gráfico da função ''f''.
Na forma ponto-declividade, ela pode ser definida como
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Resolvendo essa equação, obtém-se a relação de recorrência para o método das secantes.
== Convergência ==
As iterações ''x''<sub>''n''</sub> do método das secantes convergem para uma raiz de ''f'', se os valores iniciais ''x<sub>0</sub>'' e ''x<sub>1</sub>'' estiverem suficientemente próximas da raiz. A [[ordem de convergência]] do método é ''α'', onde
:<math> \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 </math>
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Se os valores iniciais não estiverem próximos da raiz, não se pode garantir que o método das secantes convergirá.
== Exemplos Computacionais ==
Eis implementações do método das secantes em [[Matlab]]. Neste exemplo, o método das secantes é aplicado para encontrar uma raiz da função ''f(x) = x<sup>3</sup> −10x<sup>2</sup> -400''. Os valores iniciais são ''x<sub>0</sub>=20'' e ''x<sub>1</sub>=30''; o número de iterações é ''n=8''. Espera-se que a iteração irá convergir para ''x=12,5426'' após um número suficiente de iterações.<ref name=":0"/>▼
▲Eis implementações do método das secantes em [[Matlab]]. Neste exemplo, o método das secantes é aplicado para encontrar uma raiz da função ''f(x) = x<sup>3</sup> −10x<sup>2</sup> -400''. Os valores iniciais são ''x<sub>0</sub>=20'' e ''x<sub>1</sub>=30''; o número de iterações é ''n=8''. Espera-se que a iteração irá convergir para ''x=12,5426'' após um número suficiente de iterações.
<syntaxhighlight lang=Matlab>
f=@(x) x^3 -10*x^2 -400;
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</syntaxhighlight>
{{Referências|Notas e referências}}
== Ver
* [[Método da posição falsa]]
== Referências ==
* {{citar livro|título=Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing
|último1 =Press |primeiro1 =William H.
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}}
== Ligações externas ==
*
* [https://rosettacode.org/wiki/Roots_of_a_function#Secant_Method Roots of a function - Secant Method], no [[Rosetta Code]]
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