Diferenças entre edições de "Função suave"

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+exemplos vindos da wiki anglófona
(inserindo classes de regularidade)
(+exemplos vindos da wiki anglófona)
*<math>f\,</math> é dita ser de classe <math>C^n(D,\mathbb{R})\,</math> se sua [[enésima]] derivada for uma [[função contínua]].
*<math>f\,</math> é dita ser suave ou de classe <math>C^\infty(D,\mathbb{R})\,</math> for de classe <math>C^\infty(D,\mathbb{R})\,</math> para todo <math>n\,</math>
*<math>f\,</math> é dita ser [[função analítica|analítica]] ou de classe <math>C^\omega(D,\mathbb{R})\,</math> se puder ser escrita como uma [[série de Taylor]] em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.
 
 
==Definições para funções de várias variáveis==
 
 
==Exemplos==
[[Image:C0 function.png|right|thumb|A função ''f''(''x'')=''x'' para ''x''&ge;0 e 0 caso contrário.]]
[[Image:TV pic3.png|thumb|right|A função ''f''(''x'')=''x''<sup>2</sup>&nbsp;sin(1/''x'') para ''x''&gt;0.]]
[[Image:Mollifier illustration.png|right|thumb|300px|Um função suave não analítica.]]
A função
 
: <math>f(x) = \begin{cases}x & \mbox{if }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{if }x < 0\end{cases}</math>
 
é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe <math>C^0\,</math> mas não de classe <math>C^1\,</math>.
 
A função
:<math>f(x) = \begin{cases}x^2\sin{1/x} & \mbox{if }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{if }x = 0\end{cases}</math>
é diferenciável, com derivada
:<math>f'(x) = \begin{cases}2x\sin{1/x} - \cos{1/x} & \mbox{if }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{if }x = 0.\end{cases}</math>
Como <math>\cos(1/x)\,</math> oscila quando <math>x</math> se aproxima de zero, <math>f(x)\,</math> não é contínua na origem. Portanto, esta função é diferenciável mas não é de classe ''C<sup>1</sup>''.
 
A função
:<math>f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases}</math>
 
é suave, e portanto de classe <math>C^\infty\,</math>, mas não é [[função analítica|analítica]], portanto não é de classe <math>C^\omega\,</math>
 
A [[função exponencial]] é analítica e, portanto, de classe <math>C^{\omega}</math>.
 
=={{Ver também}}==