Diferenças entre edições de "Equação de Langevin"

Foi acrescentada uma pequena analise do caso do movimento browniano assim como algumas correções e acrescentos à introdução.
m (Correção ortográfica e link para o termo potencial a fim de que seja melhor entendido.)
(Foi acrescentada uma pequena analise do caso do movimento browniano assim como algumas correções e acrescentos à introdução.)
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Em [[física estatística]], uma '''equação de [[Paul Langevin|Langevin]]''' é uma [[equação diferencial estocástica]] que descreve o movimento de uma variável aleatória (e.g., a posição de uma partícula suspensa num liquido) quando sujeita a um potencial, geralmente é este potencial que impõe a natureza aleatória ao sistema. Este potencial normalmente pode ser decomposto em duas componentes um potencial estático e um potencial aleatório. Um exemplo típico do uso destas equações é o [[movimento browniano]] onde a variável aleatória é a posição de uma partícula embutida num [[Teoriabanho dotérmico e o potencial|potencial]] é o efeito da temperatura do banho, ou seja o efeito das colisões entre a partícula e as moléculas do banho térmico.
 
== Exemplos de Equações de Langevin ==
As primeiras equações de Langevin que foram estudadas foram aquelas em que o potencial é constante, de forma que a aceleração <math>{a}</math> de una partícula browniana de massa <math>m</math> se expressa como a soma da força viscosa que é proporcional à velocidade da partícula <math>{v}</math> ([[lei de Stokes]]), um termo de ''ruído'' <math>\mathbf\eta(t)</math> que representa o efeito de uma série continua de choques com os átomos do fluido que forma o meio e <math>{F(x)}</math> que é a força de interacção sistemática produzida pelas interacções [[Intramolecular|intramoleculares]] e [[Fuerza intermolecular|intermoleculares]]:
 
==== Movimento Browniano ====
:<math>m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = F(\mathbf{x}) - \beta \mathbf{v} + \eta(t).</math>
A equação de Langevin original, desenvolvida por [[Paul Langevin]]<ref>{{cite journal |title=Sur la théorie du mouvement brownien [On the Theory of Brownian Motion] |last=Langevin |first=P. |year=1908 |pages=530–533 |volume=146 |journal=C. R. Acad. Sci. Paris}}; reviewed by D. S. Lemons & A. Gythiel: ''Paul Langevin’s 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" [...]'', Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), {{doi|10.1119/1.18725}}</ref>, foi utilizada para descrever o [[movimento browniano]]. Neste processo o movimento de uma partícula browniana de massa <math>m</math> e posição <math>\boldsymbol{x}(t)</math> é apenas uma consequência das colisões entre a partícula e as moléculas do meio envolvente. Estas colisões levam a dois efeitos: O primeiro, macroscópico, é conhecido como atrito viscoso e pode ser expresso como uma força <math>-\gamma \boldsymbol{v}(t)</math> onde <math>\gamma</math> é o coeficiente de amortecimento (próprio do meio envolvente) e <math>\boldsymbol{v}(t) = \dot{\boldsymbol{x}}(t)</math> é a velocidade da partícula. O segundo efeito, estocástico, é uma força (ou ruído) <math>\boldsymbol{\eta}(t)</math> que se assume ser Gaussiana de media nula <math>\left \langle \boldsymbol{\eta}(t)\right \rangle = \boldsymbol{0}</math> , graças a [[Lei dos grandes números]], e função de correlação <math>\left \langle \eta_i(t) \eta_j(t') \right \rangle = 2 d \gamma m k_{B} T \delta_{ij} \delta(\left \vert t - t' \right \vert)</math> para todas as direções <math>i, j</math> do espaço de <math>d </math> dimensões onde <math>k_{\text{B}}</math> é a [[constante de Boltzmann]] e <math>T</math> é a temperatura do meio envolvente.
 
Aplicando a [[Segunda Lei de Newton|segunda lei de Newton]] obtemos:
Equações essencialmente similares aplicam-se a outros sistemas brownianos, tais como o [[ruido térmico]] numa resistência eléctrica:
 
<center> <math>m\boldsymbol{a}(t) = - \gamma \mathbf{v}(t) + \boldsymbol{\eta}(t),</math> </center>
 
onde <math>\boldsymbol{a}(t) =\ddot{\boldsymbol{x}}(t) </math> é a aceleração da partícula.
 
Esta equação de Langevin pode ser integrada (por via de uma [[Transformada de Laplace]] por exemplo):
 
<center> <math>m\boldsymbol{v}(t) = m\boldsymbol{v}_0 e^{-\gamma t} + \int_0^t d\tau \ e^{-\gamma \tau} \boldsymbol{\eta}(t-\tau)</math>, </center>
 
daqui podemos tirar varias conclusões, como por exemplo:
 
* <math>\left \langle \boldsymbol{v}(t) \right \rangle = \boldsymbol{v}_0 e^{-\gamma t} + \frac{1}{m} \int_0^t d\tau \ e^{-\gamma (t-\tau)} \left \langle \boldsymbol{\eta}(\tau) \right \rangle = \boldsymbol{v}_0 e^{-\gamma t} </math>;
 
* <math> \left \langle \boldsymbol{v}^{2}(t) \right \rangle = \boldsymbol{v}_0^2 e^{-2\gamma t} + \frac{1}{m^2}\int_0^t d\tau \int_0^{t} d\tau' \ e^{-2\gamma \tau} \left \langle \boldsymbol{\eta}(t-\tau) \boldsymbol{\eta}(t-\tau') \right \rangle = \left ( \boldsymbol{v}_0^2 -\frac{d k_{\text{B}} T}{m} \right ) e^{-2\gamma t} + \frac{d k_{\text{B}} T}{m} </math>;
 
note-se que quando o sistema se encontra em equilíbrio <math> (t \rightarrow \infty) </math> a velocidade media da partícula é nula e
<center> <math> \left \langle \frac{1}{2} m \boldsymbol{v}^{2}(t) \right \rangle = \frac{d}{2} k_{\text{B}} T, </math> </center>
 
este é o famoso resultado do [[Teorema da equipartição|teorema da equipartição (de energia)]] para a energia media de partículas num gás perfeito.
 
==== Circuito Elétrico com Ruido Térmico ====
EquaçõesOutros essencialmentesistemas similarespodem aplicam-seser atratados outrosda sistemasmesma brownianos,maneira tais como o [[ruido térmico]] numa resistência eléctrica:
 
:<math>L \frac{d I(t)}{dt} = -R I(t) + v(t). </math>
 
== Considerações Extra ==
Podem obter numerosos resultados interessantes, mesmo sem resolver a equação de Langevin, a partir do [[teorema de flutuação-dissipação]].
Existe uma conexão direta entre uma equação de Langevin e a [[Equação de Fokker–Planck|equação de Fokker-Planck]] correspondente geralmente facilitando a resolução do sistema, porem é preciso notar que nem todas as equações de Langevin têm uma e [[Equação de Fokker–Planck|equação de Fokker-Planck]] correspondente (por exemplo se o ruído não for Gaussiano).
 
O método principal para se encontrar uma solução, se é que seja requerida uma solução, é utilizar a [[equação de Fokker-Planck]], que providencia uma equação determinística que é satisfeita pela densidade de probabilidade dependente do tempo. Soluções numéricas alternativas podem-se obterser obtidas mediante simulação de [[Método de Monte Carlo|Monte Carlo]]. Outras técnicas têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e [[mecânica quântica]] (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na [[equação de Schrödinger]] secom seuma transformaremtransformação algumasde variáveis).
 
== Bibliografia ==
 
[[Categoria:Mecânica estatística]]
 
<references />
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edições