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== Exemplos ==
=== Raiz quadrada ===
Considere o problema de encontrar a raiz quadrada de um número a, ou seja, o número positivo <math>x </math> tal que <math>x^2</math> = a. O método de Newton é um dos muitos métodos de cálculo de raízes quadradas. Podemos reformular isso encontrando o zero de <math>f(x) = x^2 - a</math>. Temos <math>f'(x) = 2x</math>.
Por exemplo, para encontrar a raiz quadrada de 612 com uma estimativa inicial <math>x_0
</math> = 10, a sequência dada pelo método de Newton é:
<math>{\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&10-{\dfrac {10^{2}-612}{2\times 10}}&=&35.6\qquad \qquad \qquad \quad \;\,{}\\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&35.6-{\dfrac {35.6^{2}-612}{2\times 35.6}}&=&{\underline {2}}6.395\,505\,617\,978\dots \\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.7}}90\,635\,492\,455\dots \\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.738\,6}}88\,294\,075\dots \\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {24.738\,633\,753\,7}}67\dots \end{matrix}}}</math>
Onde os dígitos corretos estão sublinhados. Com apenas algumas iterações, pode-se obter uma solução com precisão de muitas casas decimais.
Reorganizar a fórmula da seguinte maneira produz o método babilônico de encontrar raízes quadradas:
<math>{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-a}{2x_{n}}}={\frac {1}{2}}{\biggl (}2x_{n}-{\Bigl (}x_{n}-{\frac {a}{x_{n}}}{\Bigr )}{\biggr )}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}{\Bigr )}}</math>
ou seja, a média aritmética da estimativa, <math>x_n</math> e <math>a \over x_n</math>
=== Solução de '''<math>cos(x) = x^3 </math>''' ===
Considere o problema de encontrar o número positivo <math>x </math> com <math>cos(x) = x^3 </math>. Podemos reformular isso encontrando o zero de<math>f(x) = cos(x) - x^3 </math>. Temos <math>f'(x) = -sen(x) - 3x^2 </math>. <math>cos(x) \leq 1 </math> para todo <math>x </math> e <math>x^3 > 1 </math> para <math>x>1 </math> sabemos que nossa solução está entre 0 e 1.
Por exemplo, com uma estimativa inicial <math>x_0 </math> = 0,5, a sequência dada pelo método de Newton é (observe que um valor inicial de 0 levará a um resultado indefinido, mostrando a importância de usar um ponto de partida próximo à solução):
<math>{\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\dfrac {\cos 0.5-0.5^{3}}{-\sin 0.5-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112\,141\,637\,097\dots \\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909\,672\,693\,736\dots \\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7\,263\,818\,209\dots \\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,47}}7\,135\,298\dots \\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,1}}11\dots \\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,102}}\dots \end{matrix}}}</math>
Os dígitos corretos estão sublinhados no exemplo acima. Em particular, <math>x_6 </math> está correto para 12 casas decimais. Vemos que o número de dígitos corretos após o ponto decimal aumenta de 2 (para <math>x_3 </math>) para 5 e 10, ilustrando a convergência quadrática.
=== Outros exemplos ===
#Neste exemplo,<ref name="omonitor-2">{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=geometriadometododenewton|titulo=Construção geométrica do Método de Newton–Raphson|acessodata=2016-03-22|obra=omonitor.io}}</ref> mostraremos porque a função ''f'' deve ser diferenciável em ''x<sub>n</sub>'', para a satisfazer a condição inicial. Considere a função ''f(x)=|x-3|-1''. Essa função possui uma cúspide em (''3,-1''); portanto, ''f'' não é diferenciável nesse ponto. Analisando o gráfico dessa função, percebemos que ''x=2'' e ''x=4'' são suas raízes. Caso iniciemos o '''método de Newton''' com ''x<sub>0</sub>=3'', o processo iterativo falhará porque a derivada de ''f'' em ''x=3'' não é definida.
#Neste exemplo,<ref name="omonitor-2" /> mostraremos porque a função ''f'' deve ter derivada não nula em ''x<sub>n</sub>''. Considere a função ''f(x)=x<sup>2</sup>-1''. Essa função possui uma reta tangente horizontal em (''0,-1''); portanto, a derivada de ''f'' nesse ponto é nula. Como a reta tangente é horizontal, logo ela nunca interceptará o eixo das abcissas e, assim, o '''método de Newton''' falhará, pois ocorrerá uma indeterminação matemática (divisão por zero).
#Neste exemplo,<ref name="omonitor-2" /> mostraremos que mesmo escolhendo-se uma aproximação ''x<sub>0</sub>'' distante da real raiz da função ''f'', o '''método de Newton''' ainda assim poderá convergirá rapidamente para a solução de ''f(x)=0''. Considere a função ''f(x)=sen(x)''. Se arbitrarmos ''x<sub>0</sub>=10,85 rad'', valor relativamente distante da primeira raiz, ''x=π rad'', o método convergirá para essa raiz rapidamente.
Isso mostra que a primeira aproximação da raiz não necessita ser um valor próximo dela. Existem casos em que essa aproximação é distante da raiz e mesmo assim o método converge, conforme mostrado no exemplo acima.
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