Combinação linear: diferenças entre revisões

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Em [[matemática]], uma '''combinação linear'''<ref name=":0">{{citar livro|titulo=Álgebra Linear e Aplicações|ultimo=Callioli|primeiro=Carlos A.|ultimo2=Domingues|primeiro2=Hygino H.|ultimo3=Costa|primeiro3=Roberto C. F.|editora=Atual|ano=1990|local=São Paulo, Brasil|paginas=57-59|acessodata=01/12/2016}}</ref> é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos, multiplicando cada termo por uma constante (por exemplo, uma combinação linear de '''''x''''' e '''''y''''' seria qualquer expressão da forma '''''ax + by''''', onde '''''a''''' e '''''b''''' são constantes). O conceito de combinações lineares é central para a [[álgebra linear]] e campos relacionados da matemática. A maior parte deste artigo trata de combinações lineares no contexto de um [[espaço vetorial]] sobre um corpo, com algumas generalizações dadas no final do artigo.
 
== Definição==
 
Suponha<ref>{{citar livro|titulo=Álgebra Linear Aplicada|ultimo=Noble|primeiro=Ben|editora=|ano=1986|local=Rio de Janeiro, Brasil|paginas=91|acessodata=}}</ref> que K é um corpo (por exemplo, números reais) e V é um espaço vetorial sobre K. Como de costume, chamamos elementos de [[Vetor (matemática)|vetores]] V e elementos escalares de K. Se '''''v<sub>1</sub>,...,v''<sub>''n''</sub>''' são vetores e '''''a<sub>1</sub>,...,a''<sub>''n''</sub>''' são [[Grandeza escalar|escalares]], então a combinação linear desses vetores com estes escalares como coeficientes é:
 
<math>a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v_2 + a_3 \vec v_3 + \cdots + a_n \vec v_n. \,</math>
 
=== Vetores Euclidianos ===
Seja o corpo K o conjunto R de [[Número real|números reais]], e seja o [[espaço vetorial]]<ref>{{citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=WL4JBwAAQBAJ&pg=PA519&dq=álgebra+linear&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwj6o7PYh-LQAhXFTJAKHXAdAPYQ6AEIYzAJ#v=onepage&q=álgebra%20linear&f=false|titulo=Álgebra Linear com aplicações|ultimo=Anton|primeiro=Howard|ultimo2=Rorres|primeiro2=Chris|editora=Bookman|ano=2012|local=|paginas=119|acessodata=}}</ref> V o [[espaço euclidiano]] '''R'''<sup>3</sup>. Considere os vetores e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1). Então qualquer vetor em '''R'''<sup>3</sup> é uma combinação linear de e1, e2 e e3.
 
Para ver que isso é assim, pegue um vetor arbitrário (a1, a2, a3) em '''R'''<sup>3</sup> e escreva:
 
=== Funções ===
Seja K o conjunto '''C''' de todos os [[Número complexo|números complexos]] e seja V o conjunto C<sub>'''C'''</sub>(''R'') de todas as [[Função contínua|funções contínuas]]<ref>{{citar livro|titulo=Espaços Métricos|ultimo=Lages|primeiro=Elon|editora=|ano=1977|local=Rio de Janeiro (Impa)|paginas=32|acessodata=}}</ref> da linha real R ao [[plano complexo]] C. Considere os vetores (funções) '''''f''''' e '''''g''''' definidos por ''f''(''t'')&nbsp;:= '''''e'''''<sup>''it''</sup> e ''g''(''t'')&nbsp;:= '''''e'''''<sup>&minus;''it''</sup>. (Aqui, '''e''' é a base do [[logaritmo natural]], cerca de 2.71828 ..., e "'''i"''' é a [[unidade imaginária]], uma [[raiz quadrada]] de -1). Algumas combinações lineares de '''''f''''' e '''''g''''' são:
*<div style="vertical-align: 0%;display:inline;"><math> \cos t = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} e^{i t} + \begin{matrix}\frac12\end{matrix} e^{-i t} \,</math></div>
*<div style="vertical-align: 0%;display:inline;"><math> 2 \sin t = (-i ) e^{i t} + ( i ) e^{-i t}. \,</math> Por outro lado, a função constante 3 não é uma combinação linear de '''f''' e '''g'''. Para ver isso, suponha que 3 poderia ser escrito como uma combinação linear de '''''e''<sup>''it''</sup>''' e '''''e''<sup>&minus;''it''</sup>'''. Isto significa que existiriam escalares complexos '''a''' e '''b''' tais que '''''a'''e''<sup>''it''</sup> + '''''b'''e''<sup>&minus;''it''</sup> = 3 para todos os [[Número real|números reais]] '''t'''. O ajuste t = 0 e t = π dá as equações a + b = 3 e a + b = -3, e claramente isso não pode acontecer. Veja a [[identidade de Euler]]. </div>
:
e agrupando os valores de '''x''', de acordo com o seu grau ([[Associatividade|propriedades Associativa]]), temos:
:<math> a_3 x^2 + ( a_2 + a_3 ) x + ( a_1 + a_2 + a_3 ) = 1 x^2 + 0 x + (-1). \,</math>
 
Dois polinômios são iguais, [[se e somente se]], seus [[Coeficiente|coeficientescoeficiente]]s correspondentes são iguais. Podemos concluir:
:<math> a_3 = 1, \quad a_2 + a_3 = 0, \quad a_1 + a_2 + a_3 = -1. \,</math>
:
:Isto é sempre falso. Portanto, não há nenhuma maneira para isso dar certo, e ''x''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 não é uma combinação linear de ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, e ''p''<sub>3</sub>.
 
== Subconjunto Linear<ref>{{citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=R0Bz8-vHyJ8C&printsec=frontcover&dq=álgebra+linear&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwiBmIDGhuLQAhVIFJAKHRHuBOQQ6AEIMzAB#v=onepage&q=álgebra%20linear&f=false|titulo=Algebra Linear para todos|ultimo=Robbiano|primeiro=Lorenzo|editora=Springer|ano=2007|local=Itália|paginas=135|acessodata=05/-12/-2016}}</ref> ==
 
Tome um corpo arbitrário '''K''', um espaço vetorial arbitrário '''V''', e ''v''<sub>1</sub>,...,''v''<sub>''n''</sub> sejam vetores (em '''V'''). É interessante considerar o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Este conjunto é chamado de span linear (ou apenas span) dos vetores, digamos
 
S = {v1, ..., vn}. Nós escrevemos a extensão de S como span (S) ou sp (S):
 
==Referências==
 
[[Categoria:Álgebra linear]]