Função exponencial: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m |
m ajustes usando script |
||
Linha 1:
[[Imagem:Exponential function defn.png|thumb|Esboço do gráfico de uma função exponencial
Chama-se '''função exponencial''' a [[função (matemática)|função]] <math display="inline">f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+^*</math> tal que <math display="inline">f(x) = a^x </math> em que <math display="inline">a\in\mathbb{R}</math>, <math display="inline"> 0 < a \neq 1</math>. O número <math>a</math> é chamado de base da função. A função exponencial <math display="inline">f(x) = a^x </math> pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se <math display="inline">a > 1 </math>, a função é crescente. Caso <math display="inline"> 0 < a < 1 </math> a função é decrescente.<ref name=":1">{{citar livro|título = A matemática do ensino médio - vol. 1|sobrenome = Lima|nome = E.L. |numero-autores=et al.|edição = |local = |editora = SBM|ano = 2006|página = |isbn = 8585818107}}</ref><ref name=":0">{{citar livro|título = Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 2|sobrenome = Iezzi|nome = G. |numero-autores=et al.|edição = 10|local = |editora = Atual|ano = 2013|página = |isbn = 9788535716825}}</ref>
== Definição formal ==
Linha 35:
== Propriedades da função exponencial ==
[[Imagem:Exponential function defn.png|thumb|Função exponencial crescente
A função exponencial de base <math>a</math>, <math>f(x) = a^x</math>, tem as seguintes propriedades:<ref name=":1">{{citar livro|título = A matemática do ensino médio - vol. 1|sobrenome = Lima|nome = E.L. |numero-autores=et al.|edição = |local = |editora = SBM|ano = 2006|página = |isbn = 8585818107}}</ref><ref name=":0">{{citar livro|título = Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 2|sobrenome = Iezzi|nome = G. |numero-autores=et al.|edição = 10|local = |editora = Atual|ano = 2013|página = |isbn = 9788535716825}}</ref>
# <math>f(x) > 0</math> para todo <math>x\in \mathbb{R}</math>;
# <math>f(x)</math> é [[Função monótona|função crescente]] se, e somente se, <math>a > 1</math>;
Linha 71:
; Lema
Dados um número real <math>a\neq 1</math> e um intervalo <math>I = [c,~d]\subset\mathbb{R}_+^*</math>, com <math>d > c</math>, então existe um número racional <math>r\in\mathbb{Q}</math> tal que <math>a^r\in I</math>.<ref name=":1">{{citar livro|título = A matemática do ensino médio - vol. 1|sobrenome = Lima|nome = E.L. |numero-autores=et al.|edição = |local = |editora = SBM|ano = 2006|página = |isbn = 8585818107}}</ref>
Suponhamos, sem perda de generalidade, que <math>a, c > 1</math>. Pelas propriedades 2 e 5, existe um número natural <math>n_1\in\mathbb{N}</math> tal que:
Linha 95:
== A função exponencial natural ==
{{Artigo principal|função exponencial natural}}
[[Imagem:Natural exponential function.png|thumb|Esboço do gráfico da função exponencial natural
A '''função exponencial natural''' é a função exponencial cuja base é o [[número de Euler]]. Denotado por ''e''<sup>''x''</sup> ou exp(''x''), a função exponencial natural é uma das mais importantes [[função (matemática)|funções]] da [[matemática]] e pode ser definida de pelo menos duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma [[Série (matemática)|série infinita]]; a segunda, como [[limite]] de uma [[Sequência (matemática)|seqüência]]:<ref name=rudinzinho>{{citar livro|título=Principles of Mathematical Analysis|sobrenome=Rudin|nome=Walter|capítulo=8|edição=3|publicado =McGraw-Hill|ano=1976}}</ref>
: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>
Linha 123:
== Derivada e integral da função exponencial ==
[[Imagem:Exponential function behavior.png|thumb|Comportamento da função exponencial
A [[derivada]] da função exponencial de base <math>a</math>, <math>f(x) = a^x</math> é dada por:<ref name=":2">{{citar livro|título = Cálculo - vol. 1|sobrenome = Stewart|nome = James|edição = 7|local = |editora = Cengage|ano = 2013|página = |isbn = 978-8522112586}}</ref><ref name=":3">{{citar livro|título = Cálculo - Volume I|sobrenome = Anton|nome = H. |numero-autores=et al.|edição = 10|local = |editora = Bookman|ano = 2014|página = |isbn = 9788582602256}}</ref>
:<math>\frac{d}{dx}f(x) = a^x\ln a</math>.
Linha 135:
Como <math>(\ln(a))^2</math> é uma constante positiva, observamos que a taxa de variação da função exponencial é crescente em relação a ''x'', isto é a função exponencial é uma [[função convexa]].
A [[integral indefinida]] da função exponencial é dada por:<ref name=":2">{{citar livro|título = Cálculo - vol. 1|sobrenome = Stewart|nome = James|edição = 7|local = |editora = Cengage|ano = 2013|página = |isbn = 978-8522112586}}</ref><ref name=":3">{{citar livro|título = Cálculo - Volume I|sobrenome = Anton|nome = H. |numero-autores=et al.|edição = 10|local = |editora = Bookman|ano = 2014|página = |isbn = 9788582602256}}</ref>
:<math>\int a^x \text{d}x = \int e^{\ln a x} \text{d}x = \frac1{\ln a} e^{\ln a x} + C = \frac1{\ln a} a^x +C</math>.
{{Referências}}▼
== Ver também ==
* [[Crescimento exponencial]]
▲{{Referências}}
{{Funções}}
| |||