Teorema de Nielsen–Schreier: diferenças entre revisões

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O Teorema de Nielsen-Schreier é um importante resultado da [[Teoria dos grupos|Teoria dos Grupos]] que demonstra que todo subgrupo de um grupo livre é livre sobre algum conjunto.
 
=== Conjuntos fechados por prefixos ===
Seja <math>F=F(X)</math> um grupo livre sobre o conjunto <math>X</math>. Um subconjunto <math>A</math> de <math>F(X)</math> será dito ''fechado por prefixos'' quando para toda palavra <math>w=a_{1}a_{2}\ldots a_{r}\in A</math>, <math>a_{i}\in X\cup X^{-1}</math>, reduzida como escrita, temos <math>a_{1}\ldots a_{r-1}\in A</math>. Note que um [[subconjunto]] fechado por prefixos necessariamente contém a palavra vazia <math>1</math>. (É verdade que o grupo livre é construído como o conjunto de classes de equivalência de palavras, mas é natural identificar uma classe com o único elemento em forma reduzida que contém.)
 
=== Transversais de Schreier ===
Se <math>H</math> é um subgrupo do grupo livre <math>F(X)</math>, uma transversal à direita de <math>H</math> em <math>F(X)</math> será dita ''transversal de Schreier'' quando for um subconjunto fechado por prefixos. É um fato que, dado um subgrupo de um grupo livre, existe uma transversal de Schreier correspondente.
 
=== O enunciado ===
'''Teorema.''' (Nielsen-Schreier)<ref>{{citar livro|título=A Course in the Theory of Groups|ultimo=ROBINSON|primeiro=Derek J.|editora=Springer-Verlag|ano=1996|local=New York|páginas=|isbn=0387944613|acessodata=}}</ref><ref>{{citar livro|título=The Theory of Groups|ultimo=JR|primeiro=Marshall Hall|editora=AMS-Chelsea Publishing|ano=|local=Providence, RI|páginas=|isbn=0821819674|acessodata=}}</ref><ref>{{citar livro|título=Combinatorial Group Theory|ultimo=MAGNUS|primeiro=Wilhelm|ultimo2=SOLITAR|primeiro2=Donald|ultimo3=Karrass|primeiro3=Abraham|editora=Dover Publications|ano=|local=United States|páginas=|isbn=0486438309|acessodata=}}</ref>
 
Linha 28:
Note que, em geral, para uma transversal <math>T</math> com <math>\overline{1}=h\in H</math>, temos a transversal <math>h^{-1}T</math> na qual <math>\overline{\overline{1}}=1</math>; claramente <math>\overline{\overline{g}}=h^{-1}\overline{g}</math> (barras duplas evidentemente se referem à nova transversal). Logo o conjunto gerador obtido nas considerações anteriores torna-se <math>\big\{ h^{-1}(tx)(\overline{tx})^{^{{\scriptstyle-1}}}\!h\mid t\in T,x\in X\big\}</math>.
 
=== O Teorema de Schreier-Reidemeister ===
O Teorema de Nielsen-Schreier permite exibir uma apresentação de um subgrupo a partir de uma para o grupo que o contém. Para isso, temos o seguinte
 
Linha 43:
Haja vista que o índice da pré-imagem será finito, implicando que o será também o posto da pré-imagem como grupo livre; além disso, <math>\operatorname{card}S\le [G:H](\operatorname{card}R)</math>.
 
=== Um critério para infinitude ===
O objetivo nesta seção é provar o seguinte
 
Linha 58:
''Exemplo.'' O grupo <math>\langle x,y\mid x^{4},y^{8},(xy)^{6}\rangle</math> é infinito. Temos <math>\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{6}\le1</math>. Considere as permutações <math>\pi_{1}=(1,2,3,4),\pi_{2}=(1,2,3,4,5,6,7,8),\pi_{1}\pi_{2}=(1,3,5,6,7,8)(2,4)</math> e escolha <math>P=\langle \pi_{1},\pi_{2}\rangle</math>. Em geral, o grupo <math>D(l,m,n)=\langle x,y \mid x^{l}, y^{m},(xy)^{n}\rangle</math>, intimamente relacionado com certas tesselações triangulares de planos (no sentido amplo de geometrias Euclidianas ou não), é infinito se, e somente se, <math>\tfrac{1}{l}+\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{n}\le1</math>. É possível mostrar que, dada uma tripla <math>(l,m,n)</math> de inteiros maiores que <math>1</math>, existem elementos <math>\gamma,\delta</math> do grupo <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{C})</math> das transformações fracionais lineares do plano complexo estendido <math>\tilde{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\sqcup\{\infty\}</math>, tais que <math>\operatorname{ord}(\gamma)=l</math>, <math>\operatorname{ord}(\delta)=m</math>, <math>\operatorname{ord}(\gamma\delta)=n</math>. Por outro lado, as únicas triplas daquela forma satisfazendo <math>\tfrac{1}{l}+\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{n}>1</math> são <math>(2,2,n)</math>, <math>(2,3,3)</math>, <math>(2,3,4)</math>, <math>(2,3,5)</math>. No primeiro caso, vê-se facilmente que se trata de um grupo diedral <math>D_{2n}</math>. Nos casos restantes, temos, respectivamente, <math>\operatorname{Alt}(4)</math>, <math>\operatorname{Sym}(4)</math>, <math>\operatorname{Alt}(5)</math>. Considere as permutações <math>\sigma=(1,2,3)</math>, <math>\tau=(2,4)(3,5)</math>, <math>\sigma\tau=(1,4,2,5,3)</math>. Note que <math>\sigma^{\tau\sigma\tau}=(4,2,3)</math>, <math>\alpha:=\tau\sigma^{\tau\sigma\tau}=(3,5,4)</math> e <math>\langle \tau,\alpha\rangle\le\big(\!\operatorname{Alt}(5)\big)_{1}=\operatorname{Stab}(1)\cong \operatorname{Alt}(4)</math>. Em <math>\langle\tau,\alpha\rangle</math>, temos <math>\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle=\langle (2,4)(3,5),(2,3)(5,4)\rangle\cong C_{2}\times C_{2}</math>; além disso as classes <math>\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle,\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle\alpha,\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle\alpha^{2}</math> são duas a duas distintas e esgotam o espaço de classes <math>\operatorname{mod}\,\,\langle \tau,\tau^{\alpha}\rangle</math>, logo <math>\vert\langle \tau,\alpha\rangle\vert=12</math>. Como <math>5</math> e <math>12</math> dividem a ordem de <math>\langle\sigma,\tau\rangle\le\operatorname{Alt}(5)</math>, temos a igualdade. Usando ideias similares, mas em <math>D(2,3,3)</math>, prova-se que <math>D(2,3,3)</math> é finito de ordem no máximo <math>12</math>; portanto, <math>x\to\tau,y\to\alpha</math> é um isomorfismo <math>D(2,3,3)\cong\operatorname{Alt}(4)</math>. Em <math>D(2,3,5)</math> há um subgrupo que é uma imagem homomorfa de <math>D(2,3,3)</math>, portanto é finito de ordem no máximo <math>12</math>. Usando as potências de <math>xy</math> como representantes de classes módulo tal subgrupo, mostra-se que <math>D(2,3,5)</math> é finito de ordem no máximo <math>12\cdot 5=60</math>, permitindo-nos concluir que <math>x\to\tau,y\to\sigma</math> é um isomorfismo <math>D(2,3,5)\cong\operatorname{Alt}(5)</math>. Ideias inteiramente análogas mostram que <math>x\to(1,4)</math>, <math>y\to(1,2,3)</math> é um isomorfismo <math>D(2,3,4)\cong\operatorname{Sym}(4)</math>.
 
=== Um último exemplo ===
Seja <math>G=\langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3}\rangle</math> e <math>H=\langle x^{-1}y,yx^{-1}\rangle\le G</math>. Afirmo que <math>H</math> é um grupo Abeliano livre de posto <math>2</math>, isto é, <math>H\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}</math>. Primeiro, temos <math>[G:H]=3</math>. De fato, <math>H\!\vartriangleleft G</math>, já que <math>xyx=(yx^{-1})^{-1}(x^{-1}y)^{-1}\in H</math> e <math>yxy=(yx^{-1})(x^{-1}y)\in H</math>; logo, o quociente <math>G/H</math> tem apresentação <math>\langle x,y\mid x^{3},y^{3},(xy)^{3},x^{-1}y,yx^{-1}\rangle\cong\langle x\mid x^{3}\rangle\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math>.