Paradoxo de Skolem: diferenças entre revisões
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Na [[lógica matemática]] e na [[filosofia]], '''O paradoxo de Skolem''' é uma aparente contradição que surge a partir do [[Teorema Löwenheim–Skolem]]. [[Thoralf Skolem]] (1922) foi o primeiro a discutir os aspectos aparentemente contraditórios do teorema, e descobrir a relatividade das noções dos conjuntos teóricos hoje conhecida como não-absoluto. Embora não seja uma real [[antinomia]] como o [[Paradoxo de Russell|paradoxo de russel]], o resultado normalmente é chamado de [[paradoxo]], e foi descrito como "um estado paradoxal das coisas" por Skolem (1922: p., 295).
O paradoxo de Skolem diz que cada axiomatização contável da teoria dos conjuntos na [[lógica de primeira ordem]], se é [[Consistência|consistente]], tem um modelo que é contável. Isso parece contraditório porque é possível provar, a partir desses mesmos axiomas, uma frase que diz intuitivamente (ou que diz precisamente o [[Modelo Padrão|modelo padrão]] da teoria) que existem conjuntos que não são contáveis. Assim, a aparente contradição é que um modelo que é a própria [[contabilidade]], e que, portanto, contém apenas conjuntos contáveis, satisfaz a primeira frase para que intuitivamente afirma "há incontáveis conjuntos".
Uma explicação matemática do paradoxo, mostrando que não é uma contradição na matemática, foi apresentada por Skolem (1922). O trabalho de Skolem foi recebido por [[Ernst Zermelo]], que argumentou contra as limitações da lógica de primeira ordem, mas o resultado rapidamente veio a ser aceito pela comunidade matemática.
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:"No momento não podemos fazer mais do que observar que temos mais um motivo aqui para entreter reservas sobre a teoria dos conjuntos e que, por enquanto, nenhuma maneira de reabilitar esta teoria é conhecida." (Ebbinghaus and van Dalen, 2000, p. 148)
Zermelo em primeiro lugar considerou o paradoxo de Skolem uma aventura (van Dalen and Ebbinghaus, 2000, p. 148 ff.), e falou contra ele a partir de 1929. O resultado de Skolem aplica-se apenas ao que hoje é chamado de lógica de primeira ordem, mas Zermelo argumentou contra a matemática finitária que fundamentam a lógica de primeira ordem (Kanamori 2004, p. 519 ff.). Zermelo argumentou que seus axiomas deveriam ser estudados na [[lógica de segunda ordem]], um cenário em que o resultado de Skolem não se aplica. Zermelo publicou uma axiomatização de segunda ordem em 1930 e provou vários resultados categóricos nesse contexto. O trabalho aprofundamento de Zermelo sobre os fundamentos da teoria dos conjuntos após o artigo de Skolem levou à sua descoberta da hierarquia cumulativa e da formalização da [[lógica infinitária]] (van Dalen and Ebbinghaus, 2000, nota 11).
Fraenkel ''et al''. (1973, pp 303-304) explica por que o resultado de Skolem foi tão surpreendente para definir os teóricos na década de 1920. [[Teorema da completude de Gödel|O Teorema da completude de Gödel]] e o [[Teorema da compacidade|teorema de compacidade]] não foram provadas até 1929. Estes teoremas iluminaram o caminho que a lógica de primeira ordem se comporta e estabeleceu a sua natureza finitária, embora a prova original de Gödel do teorema da completude ter sido complicada. A prova alternativa de Leon Henkin do teorema da completude, que agora é uma técnica padrão para a construção de modelos contábeis de uma teoria de primeira ordem consistente, não foi apresentada até 1947. Assim, em 1922, as propriedades particulares da lógica de primeira ordem que permitem o paradoxo de Skolem percorrer ainda não foram compreendidos. Sabe-se agora que o paradoxo de Skolem é exclusivo para a lógica de primeira ordem. Se a teoria dos conjuntos é formalizada utilizando a [[lógica de ordem superior]] com semântica completa, então ele não tem nenhum modelo contável.
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