Integral de Riemann: diferenças entre revisões

Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, <math>s</math> funciona na sua primeira definição se e somente se <math>s</math> funciona na sua segunda definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos com um <math>\epsilon</math>, e escolhemos um <math>\delta</math> que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição etiquetada onde a malha é menor que <math>\delta</math>. Esta soma Riemann é em dentro <math>\epsilon</math> de <math>s</math>, e qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que <math>\delta</math>, então a soma de Riemann dos refinamentos ira também estar em <math>\epsilon</math> de <math>s</math>. Para mostrar que a segunda definição implica na primeira, isto é facilitado com uso da [[integral Darboux]]. Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da [[integral Darboux]], para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração de Darboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição <math>x_0, \ldots, x_n</math> tal que o limite inferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentro <math>\frac{\epsilon}{2}</math> do valor <math>s</math> da integral de Darboux. Seja <math>r</math> igual <math>\max_{0 \le i \le n-1} M_i-m_i</math>, onde <math>M_i</math> e <math>m_i</math> sã o [[supremum]] e [[infimum]], respectivamente, de <math>f</math> em <math>[x_i,x_{i+1}]</math>, e sendo <math>\delta</math> menor que <math>\frac{\epsilon}{2rn}</math> e <math>\min_{0 \le i \le n-1} x_{i+1}-x_i</math>. Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de <math>f</math> com respeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que <math>\delta</math> ira estar em dentro de <math>\frac{\epsilon}{2}</math> da maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de <math>\epsilon</math> de <math>s</math>.

 

 

[[ca:Integral de Riemann]]