Teorema de Arzelà-Ascoli: diferenças entre revisões

 
==Enunciado da versão real==
Seja <math>\mathfrak{F}\,</math> uma famíliasequência de funções <math>f:[a,b]\to\mathbf{R}\,</math> com as seguintes propriedades:
*[[Equicontinuidade]], ou seja, para cada <math>\varepsilon>0\,</math> e cada <math>x\,</math> no domínio, existe um <math>\delta>0\,</math> tal que <math>|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon, \forall f\in\mathfrak{F}\,</math>
*[[Equilimitação]], ou seja, existe uma constante <math>C\,</math> tal que <math>|f(x)|<C, \forall x\in[a,b], \forall f\in\mathfrak{F}\,</math>
 
Então existe uma [[seqüênciasubseqüência]] <math>f_n(x)\,</math> e uma [[função contínua]] <math>f(x)\,</math> tal que <math>f_n(x)\,</math> [[convergência uniforme|converge uniformemente]] para <math>f(x)\,</math>.
 
 
De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:
 
Considere uma sequencia de funções contínuas <math>(f_n(x))\,</math> definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é [[uniformemente limitada]] e [[equicontínua]], então existe uma subsequencia que [[convergência uniforme|converge uniformemente]].
 
Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.
 
{{esboço-matemática}}
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