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O '''teorema de Liouville''' é um [[teorema]] de [[análise complexa]] que diz que uma função [[números complexos|complexa]] [[função inteira|inteira]] e [[função limitada|limitada]] é [[função constante|constante]]. Este teorema permite demonstrar o [[teorema fundamental da álgebra]] de forma simples.
 
 
==Demonstração==
Suponhamos que <math>f</math> é inteira, e que <math>|f(z)|</math>&nbsp;≤&nbsp;<math>M</math> para todo o <math>z</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''. Como <math>f</math> é inteira, então é [[função analítica|analítica]] em '''C'''. Seja <math>z</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''. Então, para cada <math>r>|z|</math>, tem-se, pelo [[Teorema da majoração de Cauchy]] <math>|f'(z)|< M/r</math>. Mas então
Suponhamos que f(z) é inteira, e que |f(z)|≤ M para todo o z pertencente a C.
:<math>|f'(z)|\le\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math>
Como f(z) é inteira então é [[função analítica|analítica]] em C.
Logo, <math>f'(z)=0</math>. Como isto acontece para cada <math>z</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''', <math>f</math> é constante.
Logo pelo [[Teorema da majoração de Cauchy]] temos que, numa [[bola (matemática)|bola]] de raio r centrada na origem |f'(z)|< M/r.
Novamente, como f(z) é inteira, pode ser representada pela sua [[série de Taylor]] convergente e o seu [[raio de convergência]]
é +∞, logo podemos ter r →∞. Assim, |f'(z)|=0 donde f'(z)=0. Logo f(z) é constante.
 
[[Categoria:Análise complexa]]
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