Diferenças entre edições de "Teorema de Liouville"

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Nova demonstração + corolário + teoremas de Picard + bibliografia
(Várias correcções)
(Nova demonstração + corolário + teoremas de Picard + bibliografia)
O '''teorema de Liouville''' é um [[teorema]] de [[análise complexa]] que diz que uma função [[números complexos|complexa]] [[função inteira|inteira]] e [[função limitada|limitada]] é [[função constante|constante]]. Este teorema permite demonstrar o [[teorema fundamental da álgebra]] de forma simples.
 
==DemonstraçãoDemonstrações==
Em ambas as demonstrações, seja <math>M</math> um majorante de <math>|f|</math>.
Suponhamos que <math>f</math> é inteira, e que <math>|f(z)|</math>&nbsp;≤&nbsp;<math>M</math> para todo o <math>z</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''. Como <math>f</math> é inteira, então é [[função analítica|analítica]] em '''C'''. Seja <math>z</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''. Então, para cada <math>r>|z|</math>, tem-se, pelo [[Teorema da majoração de Cauchy]] <math>|f'(z)|< M/r</math>. Mas então
===Primeira demonstração===
:<math>|f'(z)|\le\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math>
Logo, <math>f'(z)=0</math>. Como isto acontece para cadaSeja <math>z</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''. Para cada <math>r>|z|</math>, tem-se, pelo [[teorema da majoração de Cauchy]] <math>|f'(z)|< M/r</math>. éMas constante.então
:<math>|f'(z)|\leleqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math>
 
Logo, <math>f'(z)=0</math>. Como isto acontece para cada <math>z</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''', <math>f</math> é constante, pelo [[teorema dos acréscimos finitos]].
===Segunda demonstração===
Sejam <math>z</math> e <math>w</math> números complexos e seja <math>r</math> um número real tal que <math>|z|,|w|</math>&nbsp;&le;&nbsp;<math>r</math>. Seja
:<math>\begin{array}{rccc}\gamma(r)\colon&[0,2\pi]&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&t&\mapsto&re^{it}.\end{array}</math>
Então, pela [[fórmula integral de Cauchy]]:
:<math>f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du</math> e <math>f(w)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-w}du</math>
pelo que
:<math>\begin{align}|f(z)-f(w)|&=\left|\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du-\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du\right|\\&=\frac1{2\pi}\left|\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}-\frac{f(u)}{u-w}du\right|\\&=\frac1{2\pi}\left|\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)(z-w)}{(u-z)(u-w)}du\right|\\&\leqslant\frac{2\pi rM|z-w|}{2\pi(r-|z|)(r-|w|)}\\&=\frac{r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)},\end{align}</math>
pelo que
:<math>|f(z)-f(w)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac{r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}=0.</math>
==Corolário==
O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante <math>f</math> não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um [[conjunto denso]]. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de <math>f</math> não era densa. Então haveria algum número complexo <math>w</math> e algum <math>r>0</math> tal que a imagem de <math>f</math> não conteria nenhum elemento do disco de centro <math>r</math> centrado em <math>w</math>. Mas então se se definisse
:<math>\begin{array}{rccc}g\colon&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&z&\mapsto&\frac1{w-f(z)},\end{array}</math>
a função <math>g</math> seria inteira não constante e, para cada <math>z</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''' ter-se-ia
:<math>|g(z)|=\left|\frac1{w-f(z)}\right|=\frac1{|w-f(z)|}<\frac1r,</math>
pelo que <math>g</math> seria limitada, o que contradiz o teorema de Liouville.
==Generalizações==
Um teorema mais forte do que o teorema de Liouville é o pequeno teorema de Picard, que afirma que se <math>f</math> é uma função ineira não constante, então a sua imagem é '''C''' ou '''C'''&nbsp;\&nbsp;<math>\{a\}</math>, para algum <math>a</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''. Um teorema ainda mais forte é o grande teorema de Picard, que afirma que se <math>f</math> for uma função inteira não polinomial e se <math>w</math>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''', então a equação <math>f(z)=w</math> tem uma infinidade de soluções com, quando muito, uma excepção.
==Bibliografia==
* Conway, J. B.; ''Functions of One Complex Variable'', Berlim: Springer-Verlag, 1978
* Matos, Coimbra de; Santos, José Carlos, ''Curso de Análise Complexa'', Lisboa: Dinternal, 2000
* Remmert, R, ''Classical Topics on Complex Function Theory'', BerliM: Springer-Verlag, 1998
[[Categoria:Análise complexa]]
[[Categoria:Teoremas de matemática|Liouville]]
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