Diferenças entre edições de "Teorema de Liouville"

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(Uso das desigualdades de Cauchy)
:<math>f(z)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du</math> e <math>f(w)=\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-w}du</math>
pelo que
:<math>\begin{align}|f(z)-f(w)|&=\left|\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du-\frac1{2\pi i}\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}du\right|\\&=\frac1{2\pi}\left|\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)}{u-z}-\frac{f(u)}{u-w}du\right|\\&=\frac1{2\pi}\left|\int_{\gamma(r)}\frac{f(u)(z-w)}{(u-z)(u-w)}du\right|\\&\leqslant\frac{2\pi rM|z-w|}{2\pi(r-|z|)(r-|w|)}\\&=\frac{r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)},\cdot\end{align}</math>
Logo,
pelo que
:<math>|f(z)-f(w)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac{r|z-w|}{(r-|z|)(r-|w|)}=0.</math>
 
==Corolário==
O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante <math>f</math> não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um [[conjunto denso]]. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de <math>f</math> não era densa. Então haveria algum número complexo <math>w</math> e algum <math>r>0</math> tal que a imagem de <math>f</math> não conteria nenhum elemento do disco de centro <math>r</math> centrado em <math>w</math>. Mas então se se definisse
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