Diferenças entre edições de "Teorema de Liouville"

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==Demonstrações==
Em ambas as demonstrações, seja <math>''M</math>'' um majorante de <math>|''f''|</math>.
===Primeira demonstração===
Seja <math>''z</math>''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''. Para cada <math>''r>''&nbsp;&gt;&nbsp;|''z''|</math>, tem-se, pelas [[desigualdades de Cauchy]] (com ''n''&nbsp;=&nbsp;1), |''f&rsquoprime;''(''z'')|&nbsp;<&lt;&nbsp;''M''/''r''. Mas então
:<math>|f'(z)|\leqslant\lim_{r\rightarrow+\infty}\frac Mr=0.</math>
Logo, ''f&rsquoprime;''(''z'')&nbsp;=&nbsp;0. Como isto acontece para cada <math>''z</math>''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''', ''f'' é constante, pelo [[teorema dos acréscimos finitos]].
===Segunda demonstração===
Sejam <math>''z</math>'' e <math>''w</math>'' números complexos e seja <math>''r</math>'' um número real tal que <math>|''z''|,|''w''|</math>&nbsp;&le;&nbsp;<math>''r</math>''. Seja
:<math>\begin{array}{rccc}\gamma(r)\colon&[0,2\pi]&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&t&\mapsto&re^{it}.\end{array}</math>
Então, pela [[fórmula integral de Cauchy]]:
 
==Corolário==
O teorema de Liouville afirma que a imagem de uma função inteira não constante <math>''f</math>'' não é um conjunto limitado. De facto, a imagem de uma função inteira não constante é sempre um [[conjunto denso]]. Este resultado parece muito mais forte do que o teorema de Liouville, mas é um corolário dele. De facto, suponha-se que a imagem de <math>''f</math>'' não era densa. Então haveria algum número complexo <math>''w</math>'' e algum <math>''r>''&nbsp;&gt;&nbsp;0</math> tal que a imagem de <math>''f</math>'' não conteria nenhum elemento do disco de centro <math>''r</math>'' centrado em <math>''w</math>''. Mas então se se definisse
:<math>\begin{array}{rccc}g\colon&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}\\&z&\mapsto&\frac1{w-f(z)},\end{array}</math>
a função <math>''g</math>'' seria inteira não constante e, para cada <math>''z</math>''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''' ter-se-ia
:<math>|g(z)|=\left|\frac1{w-f(z)}\right|=\frac1{|w-f(z)|}<\frac1r,</math>
pelo que <math>''g</math>'' seria limitada, o que contradiz o teorema de Liouville.
==Generalizações==
Um teorema mais forte do que o teorema de Liouville é o pequeno teorema de Picard, que afirma que se <math>''f</math>'' é uma função ineira não constante, então a sua imagem é '''C''' ou '''C'''&nbsp;\&nbsp;<math>\{''a\''}</math>, para algum <math>''a</math>''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''. Um teorema ainda mais forte é o grande teorema de Picard, que afirma que se <math>''f</math>'' for uma função inteira não polinomial e se <math>''w</math>''&nbsp;&isin;&nbsp;'''C''', então a equação <math>''f''(''z'')&nbsp;=&nbsp;''w</math>'' tem uma infinidade de soluções com, quando muito, uma excepção.
==Bibliografia==
* Conway, J. B.; ''Functions of One Complex Variable'', Berlim: Springer-Verlag, 1978
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