Teorema do encaixe de intervalos: diferenças entre revisões

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==Demonstração==
Como a sucessão (''a<sub>n</sub>'')<sub>''n''&nbsp;&isin;&nbsp;'''N'''</sub> é crescente e é majorada (por todos os ''b<sub>n</sub>''),
converge para algum número ''a'' e, analogamente, a sucessão (''b<sub>n</sub>'')<sub>''n''&nbsp;&isin;&nbsp;'''N'''</sub> converge para algum ''b''. Como qualquer ''a<sub>n</sub>'' é menor ou igual que qualquer ''b<sub>n</sub>'', tem-se ''a''&nbsp;&le;&nbsp;''b''. MasPor outro lado, é claro que, se ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;'''R''', então
:<math>x\geqslant a\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\geqslant a_n</math>
e
:<math>x\leqslant b\Leftrightarrow(\forall n\in\mathbb{N}):x\leqslant b_n,</math>
o que é o mesmo que dizer que:
:<math>\bigcap_{n\in\mathbb{N}}[a_n,b_n]=[a,b]\neq\emptyset.</math>
==Generalizações==
*Seja {[''a<sub>i</sub>'',''b<sub>i</sub>''] | ''i''&nbsp;&isin;&nbsp;''I''} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [''a'',''b''] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então
:<math>\bigcap_{i\in I}[a_i,b_i]\neq\emptyset.</math>
*Uma sucessão decrescente (''K<sub>n</sub>'')<sub>''n''&nbsp;&isin;&nbsp;'''N'''</sub> de partes fechadas, limitadas e não vazias de '''R'''<sup>''n''</sup> tem intersecção não vazia.
 
[[Categoria:Matemática]]
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