Diferenças entre edições de "Se e somente se"

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'''Se e somente se''', abreviado como '''Sse''' é utilizada em [[matemática]], [[lógica]] e [[filosofia]], queé significauma "seforma ede expressão se".para Desteum modo[[teorema]]: ''Se'' A ''então'' B, ''e estabelecem-se'' aB condição''então'' necessáriaA; ''ou'' A ''se e asomente condiçãose'' suficienteB. numaO duplacorrespondente símbolo lógico é implicação<math>\Leftrightarrow</math>.
O correspondente símbolo lógico é "&harr;".
 
== Considerações ==
A diferença entre "se" e "se e só se" pode ser apreciada no exemplo:
Seja a afimação:
 
* ''Se um [[inteiro]] x é [[par]], então x + 1 é [[ímpar]], e se x + 1 é impar, então x é par''.
# Maria come a sopa ''se'' a sopa tem cenoura.
#:
# Maria come a sopa ''se e só se'' a sopa tem cenoura.
 
Existem maneiras concisas de expressar afirmações da forma A ''implica'' B ''e'' B ''implica'' A, nas quais não é necessário descrever as condições de A e B duas vezes cada uma. A expressao-chave para tais formas é ''se e somente se''.
A afirmação (1) apenas indica que Maria comerá sopa de cenoura. Nada diz sobre a possibilidade de que a Maria possa comer outra sopa qualquer que não tenha cenoura. Talvez coma, talvez não. A afirmação nada nos diz sobre isso. Apenas ficamos a saber que ela não se recusa a comer sopa de cenoura.
 
* <math>\Rightarrow</math> ''Um inteiro x é par se e somente se x + 1 é ímpar''.
A afirmação (2), no entanto, torna claro que a Maria comerá sopa com cenoura ''e apenas sopa com cenoura''. De certeza que recusará comer outra qualquer sopa sem cenoura.
 
Sobre as condições de A e B, elas podem ser, cada uma delas, verdadeira ou falsa, havendo assim, quatro possibilidades. Se a afirmação A ''se e somente se ''B é verdadeira, temos:
 
{|style="border:#EEEEEE solid 2px" width="30%" valign="top" cellpading="0" cellspacing="0"|
|style="border:#EEEEEE solid 2px"|'''Condição A'''
|style="border:#EEEEEE solid 2px"|'''Condição B'''
|style="border:#EEEEEE solid 2px"|
|
|-
|Verdadeira
|Verdadeira
|Possível
|-
|Verdadeira
|Falsa
|Impossível
|-
|Falsa
|Verdadeira
|Impossível
|-
|Falsa
|Falsa
|Possível
|}
 
É impossível a condição A ser verdadeira quando B é falsa, porque A <math>\Rightarrow</math> B. da mesma forma, é impossível a condição B ser verdadeira quando A é falsa, porque B <math>\Rightarrow</math> A. Assim as duas condições A e B devem ser ambas verdaeiras ou ambas falsas.
No exemplo acima a condição A é ''x é par'' e a condição B é ''x + 1 é ímpar''. Para alguns inteiros (por exemplo, x = 6) A e B são ambas verdadeiras (6 é par e 7 é impar), mas para outros inteiros (x = 9), ambas as condições são falsas (9 não é par e 10 não é ímpar).
 
===Alternativas ===
* A ''sse'' B (abreviada);
* A ''é necessário e suficiente para'' B;
* A ''é equivalente a'' B (a condição A é válida exatamente nas mesma circunstâncias em que a condição B é);
* A <math>\Leftrightarrow</math> B .
 
== Referências ==
* SCHEINERMAN, Edward R. (2003). ''Matemática discreta: uma introdução''. São Paulo. Poneira Thomson Learning. ISBN 8522102910.
 
=={{Ver também}}==
{{esboço-*[[Prova matemática}}]]
*[[Condições necessárias e suficientes]]
*[[Equivalência lógica]]
 
{{esboço-matemática}}
 
[[Categoria:Lógica matemática]]
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