Acoplamento (teoria dos grafos)

Na teoria dos grafos um acoplamento, emparelhamento ou conjunto de arestas independentes em um grafo G é um conjunto de arestas sem vértices em comum. Em outras palavras, dado um grafo G, um acoplamento M (do inglês Matching) é subconjunto de arestas de G tal qual todo vértice em G é extremo de, no máximo, uma aresta em M. G pode ser ainda um grafo inteiro consistindo de arestas sem vértices comuns.

Definição

Dado um grafo G = (V,E), um acoplamento M em G é um conjunto arestas não-adjacentes par-a-par; ou seja, duas arestas de M não compartilham um mesmo vértice.

Um vértice é dito acoplado (ou saturado) se for incidente a uma aresta no acoplamento. Caso contrário o vértice é não-acoplado.

Acoplamento Maximal

Um acoplamento maximal é um acoplamento M de um grafo G com a propriedade de que se qualquer aresta que não está em M é adicionada à M, deixa de ser um acoplamento, ou seja, M é maximal se não é um subconjunto próprio de qualquer outro acoplamento no grafo G. Em outras palavras, um acoplamento M de um grafo G é máximal se cada aresta em G tem uma intersecção não vazia com pelo menos uma aresta em M. A figura a seguir mostra exemplos de acoplamentos maximais (em vermelho) em três grafos.

Acoplamento Máximo

Um acoplamento máximo é um subconjunto M de um dado grafo G que contém o maior número possível de arestas. Pode haver muitos acoplamentos máximos. O número de acoplamento $\nu (G)$ de um grafo $G$ é o tamanho do acoplamento máximo. Note que todo acoplamento máximo é maximal, mas nem todo acoplamento maximal é um acoplamento máximo. A figura a seguir mostra exemplos de acoplamentos máximos (em vermelho) em três grafos.

Acoplamento Perfeito

Um acoplamento perfeito é um subconjunto M de arestas de um grafo G que contém todos os vértices de G. Isto é, cada vértice do grafo é incidente a exatamente uma aresta no acoplamento.

A Figura (b) acima é um exemplo de acoplamento perfeito. Todo acoplamento perfeito é máximo e portanto maximal. Em algumas literaturas, o termo acoplamento completo é usado. Na figura acima, somente a parte (b) mostra um acoplamento perfeito. Um acoplamento perfeito é também uma cobertura de arestas de tamanho mínimo. Assim, $\nu (G)\leq \rho (G)$, ou seja, o tamanho de um acoplamento máximo não é maior do que o tamanho de uma cobertura de arestas mínima.

Acoplamento Quase Perfeito

Um acoplamento quase perfeito é aquele em que exatamente um vértice é não-acoplado. Isso só pode ocorrer quando o grafo tem um número ímpar de vértices, e tal acoplamento deve ser máximo. Na figura acima, a parte (c) mostra um acoplamento quase-perfeito. Se, para cada vértice em um grafo, há um acoplamento quase perfeito que omite somente aquele vértice, o grafo é também chamado de fator-crítico.

Caminhos e o Acoplamento

Dado um acoplamento M,

• um caminho alternado é um caminho no qual as arestas pertencem alternativamente ao acoplamento e fora do acoplamento.
• um caminho de aumento é um caminho alternado que inicia e termina em vértices livres (não acoplados). Em outras palavras, um caminho alternado diz-se de aumento se ligar vértices não cobertos por M.

Pode-se provar que o acoplamento é máximo se e somente se ele não tem nenhum caminho de aumento. Este resultado é muitas vezes chamado de lema de Berge.

Propriedades

Em qualquer grafo sem vértices isolados, a soma do número de acoplamento e o número de cobertura de arestas é igual ao número de vértices. Se houver um acoplamento perfeito, então tanto o número de acoplamento quanto o número de cobertura de arestas são |V|/2.

Se A e B são dois acoplamentos maximais, então |A| ≤ 2|B| e |B| ≤ 2|A|. Para ver isto, observe que cada aresta em A \ B pode ser adjacente até um máximo de duas arestas em B \ A porque B é um acoplamento. Como cada aresta em B \ A é adjacente a uma aresta em A \ B por maximalidade, vemos que

$|A\setminus B|\leq 2|B\setminus A|.$

Além disso temos que

$|A|=|A\cap B|+|A\setminus B|\leq 2|B\cap A|+2|B\setminus A|=2|B|.$

Em particular, isso mostra que qualquer acoplamento máximo é uma 2-aproximação de um acoplamento máximo e também uma 2-aproximação de um acoplamento maximal mínimo. Essa desigualdade é apertada: por exemplo, se G é um caminho com 3 arestas e 4 nodos, o tamanho de um acoplamento maximal mínimo é 1 e o tamanho de um acoplamento máximo é de 2.

Acoplamentos polinomiais

Uma função geradora do número de acoplamentos de k-arestas em um grafo é chamada acoplamento polinomial. Seja G um grafo e m_k o número de acoplamentos de k-arestas. Um acoplamento polinomial de G é

$\sum _{k\geq 0}m_{k}x^{k}.$

Outra definição dá o acoplamento polinomial como

$\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}m_{k}x^{n-2k},$

onde n é o número de vértices no grafo.

Algoritmos e complexidade computacional

Acoplamentos máximos em grafos bipartidos

Problemas de acoplamento são frequentemente relativos a grafos bipartidos. Encontrar um acoplamento bipartido máximo (frequentemente chamado um acoplamento bipartido de máxima cardinalidade) em um grafo bipartido $G=(V=(X,Y),E)$ é talvez o mais simples problema. O algoritmo de caminho aumentado encontra-o, encontrando um caminho de aumento de cada $x\in X$ para $Y$ e adicionando-o ao acoplamento se ele existe. Como cada caminho pode ser encontrade em tempo $O(E)$, o tempo de execução é $O(VE)$. Esta solução é equivalente a adicionar uma super fonte $s$ com arestas para todos os vértices em $X$, e um super sumidouro $t$ com arestas de todos os vértices em $Y$ para $t$, e encontrar um fluxo máximo de $s$ para $t$. Todas as arestas com o fluxo de $X$ para $Y$ então constituem um acoplamento máximo. Uma melhoria em relação a isso é o algoritmo de Hopcroft-Karp, que executa em tempo $O({\sqrt {V}}E)$. Outra abordagem é baseada no algoritmo rápido de produto de matrizes e tem complexidade $O(V^{2.376})$ o que é melhor, em teoria, para grafos suficientemente densos, mas na prática o algoritmo é mais lento.

Em um grafo bipartido ponderado, cada aresta tem um valor associado. Um acoplamento máximo ponderado bipartido é definido como um acoplamento perfeito em que a soma dos valores das arestas no acoplamento tem um valor máximo. Se o grafo não é completamente bipartido, as arestas que faltam são inseridas com o valor zero. Encontrar tal acoplamento é conhecido como o problema da atribuição.