Agulha de Buffon

Na matemática, agulha de Buffon é um método para estimar o número $\pi$, proposto no século XVIII pelo naturalista francês Georges de Buffon.

A agulha a caiu sobre duas tábuas; a agulha b caiu apenas sobre uma.

O método

O método consiste basicamente em gerar aleatoriamente N sucessivas amostras em termos de custo ou tempo (variável aleatória) que serão então "testadas" em um modelo estatístico, que vem a ser na verdade uma distribuição de probabilidade.

Para que a simulação seja correta é necessário satisfazer uma condição importante: as variáveis aleatórias devem ser independentes. Isto significa que os eventos de risco simulados também devem ser independentes, ou seja, um não pode influenciar no resultado do outro ou que pelo menos esta influência seja mínima.

Dada uma expressão matemática que envolve o valor de ${\pi }$. Isolemos ${\pi }$, procuremos um evento de probabilidade cujo resultado seja um valor numérico para a expressão dada e então aproximemos o valor de ${\pi }$.

O problema

Dada uma agulha de 4 cm de comprimento, quando jogada ao acaso num assoalho feito de tábuas de 4 cm de largura, qual a probabilidade de que a agulha caia atravessando uma das junções?

Seja a distância x entre o centro da agulha e a junção mais próxima. Não é difícil constatar que nesse caso que x pertence ao intervalo [0, 2].

Agora, tomando θ como o menor ângulo entre a agulha e uma reta perpendicular as junções. Então, nesse caso θ pertence ao intervalo fechado [0, ${\pi }$/2].

Tem-se então os seguintes eventos:

x > cat. adj.(agulha caira sobre uma das junções)

x <= cat. adj. (agulha não caira sobre uma das junções)

Pelo triângulo retângulo de hipotenusa OP tem-se :

Cos θ = cat. adj / Hipotenusa

cat. adj = 2.cos θ

Estamos então interessados nos seguintes eventos:

quando x < 2 cos θ , a agulha cairá sobre uma das junções.

quando x >= 2 cos θ , a agulha não cairá sobre uma das junções

O evento de jogar a agulha sobre a tábua de 4 cm resume-se então em escolher um ponto ao acaso no gráfico:

A parte sombreada da figura representa o evento em que a agulha cairá sobre uma das junções.

Portanto :

P = ${\frac {k}{n}}\cong \left({\frac {2}{\pi }}\right)$

Ver também

• Pi
• Probabilidade geométrica

Ligações externas

• «Agulha de Buffon» (PDF)