Backtracking

Backtracking é um tipo de algoritmo que representa um refinamento da busca por força bruta, em que múltiplas soluções podem ser eliminadas sem serem explicitamente examinadas. O termo foi cunhado pelo matemático estado-unidense D. H. Lehmer na década de 1950.

Backtracking sem backjumping.

Backtracking com backjumping.

O procedimento é usado em linguagens de programação como Prolog. Uma busca inicial em um programa nessa linguagem segue o padrão busca em profundidade, ou seja, a árvore é percorrida sistematicamente de cima para baixo e da esquerda para direita. Quando essa pesquisa falha, ou é encontrado um nodo terminal da árvore, entra em funcionamento o mecanismo de backtracking. Esse procedimento faz com que o sistema retorne pelo mesmo caminho percorrido com a finalidade de encontrar soluções alternativas.

Um exemplo de algoritmo de Backtracking está representado abaixo:

bool acabou = FALSE;

backtrack(int a[], int k, int n) {
	int c[MAXCANDIDATOS];  /* Candidatos para a próxima posição */
	int ncandidatos;       /* Número de candidatos para a próxima posição */
	int i;                 /* Contador */
	
	if (e_uma_solucao(a, k, n)) {
		processar_solucao(a, k, n);
	} else {
		k = k + 1;
		construir_candidatos(a, k, n, c, &ncandidatos);
		for (i=0; i<ncandidatos; i++) {
			a[k] = c[i];
			backtrack(a, k, n);
			if (acabou) return;
		}
	}
}

As principais aplicações desse tipo de algoritmo são para a construção de todos os 2^n subconjuntos de um conjunto S, com n elementos e todas as permutações desse conjunto. Abaixo seguem as sub-rotinas para cada situação, na linguagem C:

Construção de todos os subconjuntos

e_uma_solucao(int a[], int k, int n) {
	return (k == n);
}

construir_candidatos(int a[], int k, int n, int c[], int *ncandidatos) {
	c[0] = TRUE;
	c[1] = FALSE;

	*ncandidatos = 2;
}

processar_solucao(int a[], int k) {
	int i; /* Contador */

	printf("{");
	for (i=1; i<=k; i++)
		if (a[i] == TRUE)
			printf(" %d", i);

	printf(" }\n");
}

Agora, é necessário chamar a função backtrack com os argumentos certos, sendo backtrack(a, 0, n).

Construção de todas as permutações

construir_candidatos(int a[], int k, int n, int c[], int *ncandidatos) {
	int i;  /* Contador */
	bool in_perm[NMAX];   /* Quem já está na permutação? */

	for (i=1; i<NMAX; i++) in_perm[i] = FALSE;
	for (i=1; i<k; i++) in_perm[ a[i] ] = TRUE;

	*ncandidatos = 0;

	for (i=1;i<=n;i++)
		if (in_perm[i] == FALSE) {
			c[ *ncandidatos] = i;

			*ncandidatos = *ncandidatos+1;
		}
}

processar_solucao(int a[], int k) {
	int i; /* Contador */

	for (i=1; i<=k; i++)
	printf(" %d", a[i]);

	printf("\n");
}

e_uma_solucao(int a[], int k, int n) {
	return (k == n);
}

Novamente, deve-se chamar a função backtrack da forma backtrack(a, 0, n).