Conjugado de um número complexo

Em matemática, o conjugado de um número complexo $z=a+bi\,\!$ é o número representado por ${\overline {z}}=a-bi\,\!$. Possui grande utilidade nos cálculos com variáveis complexas, além de representar a reflexão do número em torno do eixo das abcissas no Plano de Argand-Gauss.

Propriedades

• $|z|=|{\overline {z}}|\,$ (O módulo do conjugado de um número é o mesmo módulo do número)
• $z\cdot {\overline {z}}=|z|^{2}\,$ (o produto de um número pelo seu conjugado é o quadrado do módulo do número)
• $z+{\overline {z}}=2Re(z)\,$ (a soma de um número ao seu conjugado é o dobro da parte real do número)
• $z-{\overline {z}}=2Im(z)\,$ (a subtração de um número ao seu conjugado é o dobro da parte imaginária do número)

Uso como Variável

Uma vez um número complexo $z=x+iy$ ou $z=re^{i\theta }$ é dado, seu conjugado é suficiente para reproduzir as partes da variável z:

• Parte real: $x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}$
• Parte imaginária: $y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
• Módulo: $r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
• Argumento: $e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}$, então $\theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}$

Além disso, ${\overline {z}}$ pode ser usado para especificar linhas no plano:

$\left\{z\mid z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}$

O conjunto é uma linha através da origem e perpendicular a ${\overline {r}}$ desde a parte real de $z\cdot {\overline {r}}$ é zero apenas quando o cosseno do ângulo entre $z$ e ${\overline {r}}$ é zero. Da mesma forma, para uma unidade complexa fixa u = exp (b i), a equação

${\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u$

determina a linha através $z_{0}$na direção de u.

Ver também

• Variáveis Complexas - CEFET/RJ Brasil
• Fourier using Matlab^{[ligação inativa]}
• Fourier analysis
• Fourier number
• Fourier's Law
• Heat equation